Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
[-IhyaVa + тс) ф{х) = -HiyaAsuVa ф(х(х)) + Азштсф =
181 = -іЬ, Asilljb (еш )" ь Va ф(х(х )) + А5Штсф = = Asw ( -ihJaVa + тс) ф(х),
то єсть
(iA7aVa+mc) ф(х) = Аги (-ihjaVa+tnc) ф(х). (22.15)
Из формул (22.14) и (22.15) следует, что если при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую дираковское поле преобразуется согласно (22.14), то из выполнения уравнения Дирака в системе К следует выполнение уравнения Дирака в системе К. При этом переходе матрицы Дирака (22.1) остаются неизменными, а потому и уравнение Дирака сохраняет свой вид во всех инерциаль-ных системах отсчета. Сказанное означает лоренц-инвариантность уравнения Дирака.
Уравнение Дирака может быть получено путем вариации ферми-онного действия:
Sil=J d4x ^П{ФіаЧаФ -V^PY Ф) - тсффу (22.16)
Поскольку поля фиф- комплексные, то их следует варьировать независимо. При помощи формул (22.13) - (22.15) устанавливается, что действие (22.16) лоренц-инвариантно. Вещественность ферми-онного действия вытекает из формул (22.4) и (22.10).
По определению, вариация действия материи относительно электромагнитного поля дает электромагнитный ток материи Ja. В нашем случае имеем
&А Si = -е J d4x JaSAa , Г = ф-1аф. (22.17)
Учитывая (22.13) и (22.14), находим
Ja(x) = ha4> = ф Aj1Ja Asw ф = (еш)а ь Jb(x). (22.18)
Поэтому четыре вещественные величины Ja = фJaф являются компонентами 4-вектора.
Как обычно, ф = (djdt) ф. Согласно определению, обобщенный импульс Iri определяется формулой
S: Si = / dt І d3x^гiSф.
182 Отсюда и из (22.18) имеем
Trv, = іПфу° = ІПфІ (22.19)
Дираковский гамильтониан с точностью до поверхностного члена имеет вид
Щ = J d3x Жфф — С = J Л: ^t (-ihaaVa + mcy° -еА0) ф,
(22.20)
аа = у°уа, (Qa)t^Qa. (22.21)
Оператор в круглых скобках в (22.20) - эрмитовский. Поэтому имеет смысл задача о собственных функциях этого оператора. Рассмотрим эту задачу для случая свободного Дираковского поля, когда электромагнитное поле отсутствует (Aa = 0).
Для облегчения формул далее мы полагаем Ti = с = 1. Уравнение для собственных функций оператора Гамильтона-Дирака в свободной теории имеет вид
(—І OLaда + Tny0 ) Фь = Ek^k- (22-22)
Как обычно, решение этого уравнения ищется в виде бегущих волн Фк(х) = ukeIkx, амплитуды которых удовлетворяют уравнениям
( ak + тпу0 — ?к ) «к = 0. (22.23)
Умножая последнее уравнение на ( а к + тпу0 + єк ) и учитывая, что
7° а + а 7° = 0 , аа а1 + а1 аа = Sai,
получаем
(?к - "і2 - к2) мк = 0.
Отсюда видно, что при єк = ±у/тп2 4- к2 уравнение (22.23) имеет решение. Если ик удовлетворяет уравнению (22.23), то «к = 7°75 мк удовлетворяет уравнению
(а к + тпу0 + ?к ) "к = 0 ¦ (22.24)
Поэтому имеется два независимых решения уравнения (22.23) с ск = = Vm2 + к2 и два независимых решения с єк = -Vm2"+к2. Обозначим их через ик<т и и_(_к)ст соответственно, <т = 1, 2. Выберем эти решения так, чтобы выполнялись равенства
uL uk<7'= > ul(_k)CTu-(-k)<7' = StrtrI , Ujca u_(_k)CT, = 0. (22.25)
183 Последнее равенство выполняется автоматически, поскольку uk<7 и w_(_k)CT являются собственными векторами эрмитовского оператора ( a k + ту0) с разными собственными значениями. Функции
uk<7 e<kx, u_k<7e-ikx
образуют полный набор, по которому можно разложить дираковское поле:
= E [ 0Ї (a^ u^ ?ІкХ + bI (22-26)
ТГ
Для эрмитовски-сопряженного поля имеем
^tW = E / + (22.260
Здесь { ак а, Ьк а } и { ак а, 6к а } - новые динамические комплексные переменные, содержащие в себе всю информацию о дираковском поле. Гамильтониан (22.20) с учетом формул (22.22) - (22.26) принимает вид
/j3L _
^3 ? \/m2 + k2 (4. - 6к<7 bl). (22.27)
При квантовании следует учесть два фундаментальных принципа:
а) коммутатор (или антикоммутатор) полей ф и 1Гф = іф^ должен иметь каноническую форму;
б) в теории должно иметься основное состояние, энергия которого минимальна.
Оба эти условия выполняются, если принять следующие условия антикоммутации для введенных выше операторов:
{«ка, 4'*'} = (2*)3 *(3)(к-к'Ь
{ok<7> Ок'ст' } = о и т.д. (22.28)
Теперь гамильтониан (22.27) принимает вид
|3Ji _ _
(t) х-, J" Vm2 + к2 (4-7 ак<? +
ЬІаЬ^)+є о- (22.270
184 Здесь константа Єо —> — оо. Основное состояние | 0) или вакуум определяется условиями:
«k<7 I 0} = 0 , 6к<7 |0) = 0.
Отсюда и из (22.27') видно, что Єо есть энергия вакуума, которая в теории Дирака равна —оо. Если эту энергию отбросить, то энергия основного состояния оказывается равной нулю, а энергия любого другого состояния вида
является положительной. Состояния такого вида образуют физическое фермионное фоковское пространство. Если положить, что (0 I 0) = 1, то норма в фермионном фоковском пространстве будет положительной.
Выпишем выражение для электрического заряда через операторы рождения и уничтожения. Имеем
Здесь Qo —> +оо постоянный электрический заряд вакуума. Если его отбросить, то электрический заряд вакуума оказывается равным нулю.
При помощи (22.25), (22.26) и (22.28) находим, что
