Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вследствие (22.66), (22.64) и антикоммутативности дираковских полей имеем цепочку равенств:
Ja = ф7аф = -ф4 Uc1 Iа Uc Фг = = фtJat ф1 = -ф 7а ф = -Ja,
из которой следует сделанное утверждение. Г. Уравнение Вейля
Пусть поле ф удовлетворяет уравнению Дирака (22.50). Очевидно, что если в этом уравнении т = 0, то ему удовлетворяет и поле 75 ф, а также поля:
Ф± = \(1 + 15)Ф- (22.67)
Два поля (22.67) называются правым и левым вейлевскими полями соответственно.
196 В спинорном представлении Выпишем ковариантную спинорную производную:
; *<-> ггде
= vM - \ ( \ SbfhUaJi ± "V ) V1 - v„ = O + і е V (22.68)
С учетом (22.68) уравнение Дирака для вейлевских полей (22.67) принимает вид
i(e% + e»aa)VjU = 0, (22.69а)
= 0. (22.696)
Уравнения (22.69) называются уравнениями Вейля.
Так как генераторы преобразований Лоренца aa? коммутируют с проекционными операторами (1/2) (1 ± -у5 ), то уравнения Вейля инвариантны по отношению к локальным преобразованиям Лоренца. Уравнения Вейля инвариантны также относительно общекоординатных преобразований.
Рассмотрим уравнения (22.69) в пространстве Минковского, где = 6% и V J"1 = Vm- При помощи данных определений для P , T и С-преобразований нетрудно установить, что каждое из уравнений (22.69) инвариантно относительно обращения времени и комбинированного CP-преобразования. Однако уравнения Вейля не инвариантны по отношению к операциям пространственного отражения и зарядового сопряжения в отдельности.
Д. Алгебра матриц Дирака и преобразования Фирца
Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц:
I, J5 , Ja , IJ5Ja , 2гааЬ . (22.70)
Здесь 1 - единичная матрица. Занумеруем эти 16 матриц, обозначив их ja ; А = 1, ... , 16. Пусть ja ~ те же матрицы с опущенными
197 индексами. Так, если А = (Oa), то jA = —7д. Эти матрицы обладают следующими свойствами:
tr7A = 0 (7а?1), і tijAjB= S^. (22.71)
Покажем это. Заметим, что из (22.13) вытекает отсутствие следа у матриц -у". Действительно, вычисляя след от уравнения (22.13), мы находим, что tr7a = (еш)аь tr7b, откуда следует сделанное утверждение.
Имеем также:
tr75 = —і tr(70TS2T3) = -г M7V71T2) = і tr(7'0J112J3) = = -tr75 = 0.
Аналогично устанавливается, что tr757a = 0, tr crab = 0. При помощи (22.1) и (22.5) устанавливаются последние соотношения в
(22.71).
Из (22.71) следует, что 16 матриц jA линейно независимы. Поэтому любая 4х4-матрица Г может быть разложена по системе матриц jA:
Г = YjCaja, CA=l-tijAT. (22.72)
А
Пусть tap - матричные элементы матрицы Г. Рассмотрим частный случай, когда tap = sarspi5. Тогда ca = \jast и соотношение
(22.72) принимает вид
йот Sps = ^ ^ Ja St Jap ¦ (22.73)
А
Пусть в символе фа верхний индекс нумерует дираковское поле, а нижний индекс - компоненту этого поля. Умножим равенство
(22.73) на фьфаф%. Учитывая свойство антикоммутативности дираковских полей, получаем
(г Ф" {гра іА фЬ ] i^c іАф<і)- (22-74)
А
198 При замене в (22.74) фл —> ув фл , фь —7е получаются другие равенства такого же типа. При этом следует пользоваться разложением
1А 1В = Yj ас I0 ' clC = -^IaIbIC-с
Соотношения типа (22.74) называются преобразованиями Фирца.
Выпишем для справок результаты преобразований Фирца. Введем обозначения:
Js = (фафЬ ) [фсфЛ ), Jp = (фа 75 ФЬ ) (Фс 7 V),
Jv=W 7е ФЬ)(ФсъФЛ), Ja = (фа г-7У фь ) (фс ;757e ф* ) , Jt = (фа і<те1 фь ) (фс Iaej фd ) .
Те же буквы J со штрихами будут обозначать такие же произведения с переставленными местами фь и фі. Тогда
( J's \
J'v
Jrp
J'a \ Jp
1 1 1 1 1
4 -1 І 2 4 О \ 2 4 1
3 2 О 1 2 О 3 2
-1 1 ? О 1 о 1
1 1 1 1
4 4 4 4 4
( Js \ Jv Jt Ja \ Jp )
(22.75)
§ 23. Обобщенная гамильтонова механика
Цель этого приложения состоит в ознакомлении читателя с гамиль-тоновым формализмом таких динамических систем, в которых имеются связи между каноническими переменными. Эти динамические системы называются вырожденными. Процедура квантования вырожденных систем существенно усложняется по сравнению с канонической схемой квантования невырожденных систем. Важность рассматриваемой здесь задачи становится очевидной, если учесть,
199 что наиболее важные в теоретической физике модели теории поля относятся к вырожденным системам. Таковы все калибровочные теории (электродинамика, теория Янга-Миллса), теория релятивистской струны, теория гравитации.
Хотя все перечисленные системы являются системами с бесконечным (и даже континуальным) числом степеней свободы, мы далее в этом параграфе рассматриваем вырожденные системы с конечным числом степеней свободы. Перестройка формализма, разработанного для систем с конечным числом степеней свободы, для применения к классическим системам с бесконечным числом степеней свободы представляется очевидной. Трудности могут возникнуть при переходе к квантовой механике. Причина в том, что в квантовой теории поля швингеровы члены (или аномалии) в некоторых коммутаторах могут существенно видоизменить или вообще разрушить всю схему квантования, вытекающую из классической теории.
