Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 60

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 123 >> Следующая


Принцип возможной замены переменных должен быть в том, чтобы

а) квантовые (классические) скобки Дирака имели наиболее приемлемый вид в новых переменных;

б) соотношения

[х, О]* = 0, [фі, Фз ]* = cijk фк , п]*= bjk фк (23.39)

имели место при некотором способе упорядочения переменных. Здесь О - любой оператор. Если это возможно, то соотношения (23.35) совместны и состояния, удовлетворяющие этим соотношениям, являются физическими состояниями теории. Новые переменные (Q, P) не обязательно должны быть каноническими.

23.3. Пример

Проиллюстрируем развитый формализм на одном исключительно важном примере - релятивистской бозонной струне.

212 Пусть Xti, /і = О, 1, ..., D обозначают координаты в D-мерном пространстве Минковского и т)1"/ = diag(—1,1, ..., 1) . Рассмотрим действие Намбу для бозонной струны:

S=-^JvzrQd2Z = JdrC. (23.40)

Здесь = (г, ф) - параметры мировой поверхности струны и

dXf дХи 9 = det gab , даь = Vliv -щї -ЩГ ¦

Параметр т считается временным, а ф - пространственным. Далее частные производные д/дт и д/дф обозначаются соответственно точкой и штрихом сверху. Координатными переменными являются поля Xli (ф). Легко установить, что обобщенные импульсы TTti = = дCfdXfl удовлетворяют следующим условиям:

?=1?****+Tpx*'к

V = Xti' TTli ы 0 . (23.41)

Величины ?(ф) и Т(ф) исчерпывают все связи первого рода. Связи второго рода в рассматриваемой теории отсутствуют. Гамильтониан системы

U = J dф ж,, ф* - С W 0

также равен нулю. Поэтому, согласно (23.25), мы должны пользоваться обобщенным гамильтонианом, который является произвольной линейной комбинацией связей первого рода (23.41):

Ht = J dф{vV + w?). (23.42)

Уравнения движения можно получить из вариационного принципа

SS = S{J dr( J dф TTtiX"-Пт)} = 0. (23.43)

В случае открытой струны, когда параметр изменяется в пределах от нуля до числа тт, вариационный принцип (23.43) дает, кроме уравнений движения, граничные условия

(wjr„ + u> ix; JU=O1X = O. (23.44)

213 Обычно граничные условия (23.44) заменяют условиями

у\Ф=о,, = 0, ^U=Oll = O. (23.45)

Для замкнутой струны вместо граничного условия имеется условие периодичности.

Далее мы рассматриваем открытую струну. При квантовании первый шаг заключается в постулировании перестановочных соотношений обобщенных координат и импульсов:

[Х"(ф),іґ(ф')] = ітГ6{ф-ф'). (23.46)

Коммутационные соотношения (23.46) и граничные условия (23.45) удовлетворяются, если

\ пф О

Х^ф) = —= І х» + і гап cosn^

= -^7 S osn^' (23-47)

* Ti

причем элементы (x?, удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[*",<] = JVin, [*", хН = 0,

[<,<] = m Viw Sm+n. (23.48)

Так как величины (23.47) вещественны, то

х^ = Xfl, a* = atn ¦ (23.49)

Связи (23.41) можно представить следующим образом:

1

где

(?±Г)(ф) = ^(Є±(Ф))\ (23.50)

?±(<Я = 4=Е< ехрТіп0. (23.51)

V7r „

Отсюда видно, что ?—V отличается от S+V заменой ф на —ф. Это обстоятельство упрощает дальнейший анализ, поскольку величина

214 ? + V на интервале — ж < ф < тг содержит всю информацию о величинах ? ±~Р на интервале 0 < ф < ж. Поэтому компоненты Фурье

Ln = \ [ <Іф{? + Т) (23.52)

2 J-тг

эквивалентны множеству величин (23.51) при 0 < ф < ж. Согласно (23.50) - (23.52) имеем

Ln = \ : 12 an-ma»m • (23.53)

m

Смысл операции упорядочения :: в (23.53) определяется методом квантования.

Выпишем также выражения для импульса и момента струны:

P" = J* Лф*» = ^ aS,

J"" = [ йфіХ^ж" -Xv ж») =

. Jo

= (^-^)+1^1( а?а\ - ). (23.54)

пфО

При помощи (23.45) и (23.46) непосредственно проверяется, что

[Р",ПТ] = 0, [Jtiv,Ut] = 0. (23.55)

Это означает, что импульс и момент струны сохраняются.

При общепринятом в настоящее время квантовании основное состояние I 0) удовлетворяет условиям

<|0) = 0, т> 0. (23.56)

Полное пространство состояний является линейной оболочкой векторов вида

<...<10), Tni < 0. (23.57)

Таким образом, все Cnfrl являются линейными операторами в полном пространстве состояний. Из (23.48) и (23.56) следует, что в пространстве состояний (23.57) метрика является индефинитной. Упорядочение в (23.53) означает, что операторы Ocfrl с ш<0 располагаются

215 левее всех операторов с п > 0. При таком упорядочении коммутаторы операторов Вирасоро содержат аномалии:

[Ln, Lm] = {n-m) Ln+m + ^ д(пз _ n). (23.58)

Здесь D - размерность ж-пространства. Поэтому максимум, чего можно достичь - это аннулирование операторов Ln с п > 0. В результате теория оказывается непротиворечивой лишь при значении D = 26. Подробное изучение проблем, возникающих при квантовании (23.56), можно найти в [19, 20].

Обратим внимание на то, что если операторы Вирасоро определены без какого-либо дополнительного упорядочения как

Ln = ^ Y а»т ' (23.59)

т

то аномалия в алгебре Вирасоро отсутствует. Этот факт проверяется путем прямых вычислений с использованием лишь коммутационных соотношений (23.48). Отсюда следует, что в алгебраическом отношении задача построения состояний | ), удовлетворяющих условиям Ln I ) = 0 для всех п, не является противоречивой. Разумеется, эти состояния качественно отличаются от состояний вида (23.56) - (23.57). Линейные пространства, образованные двумя этими наборами состояний, унитарно неэквивалентны.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed