Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Принцип возможной замены переменных должен быть в том, чтобы
а) квантовые (классические) скобки Дирака имели наиболее приемлемый вид в новых переменных;
б) соотношения
[х, О]* = 0, [фі, Фз ]* = cijk фк , п]*= bjk фк (23.39)
имели место при некотором способе упорядочения переменных. Здесь О - любой оператор. Если это возможно, то соотношения (23.35) совместны и состояния, удовлетворяющие этим соотношениям, являются физическими состояниями теории. Новые переменные (Q, P) не обязательно должны быть каноническими.
23.3. Пример
Проиллюстрируем развитый формализм на одном исключительно важном примере - релятивистской бозонной струне.
212 Пусть Xti, /і = О, 1, ..., D обозначают координаты в D-мерном пространстве Минковского и т)1"/ = diag(—1,1, ..., 1) . Рассмотрим действие Намбу для бозонной струны:
S=-^JvzrQd2Z = JdrC. (23.40)
Здесь = (г, ф) - параметры мировой поверхности струны и
dXf дХи 9 = det gab , даь = Vliv -щї -ЩГ ¦
Параметр т считается временным, а ф - пространственным. Далее частные производные д/дт и д/дф обозначаются соответственно точкой и штрихом сверху. Координатными переменными являются поля Xli (ф). Легко установить, что обобщенные импульсы TTti = = дCfdXfl удовлетворяют следующим условиям:
?=1?****+Tpx*'к
V = Xti' TTli ы 0 . (23.41)
Величины ?(ф) и Т(ф) исчерпывают все связи первого рода. Связи второго рода в рассматриваемой теории отсутствуют. Гамильтониан системы
U = J dф ж,, ф* - С W 0
также равен нулю. Поэтому, согласно (23.25), мы должны пользоваться обобщенным гамильтонианом, который является произвольной линейной комбинацией связей первого рода (23.41):
Ht = J dф{vV + w?). (23.42)
Уравнения движения можно получить из вариационного принципа
SS = S{J dr( J dф TTtiX"-Пт)} = 0. (23.43)
В случае открытой струны, когда параметр изменяется в пределах от нуля до числа тт, вариационный принцип (23.43) дает, кроме уравнений движения, граничные условия
(wjr„ + u> ix; JU=O1X = O. (23.44)
213 Обычно граничные условия (23.44) заменяют условиями
у\Ф=о,, = 0, ^U=Oll = O. (23.45)
Для замкнутой струны вместо граничного условия имеется условие периодичности.
Далее мы рассматриваем открытую струну. При квантовании первый шаг заключается в постулировании перестановочных соотношений обобщенных координат и импульсов:
[Х"(ф),іґ(ф')] = ітГ6{ф-ф'). (23.46)
Коммутационные соотношения (23.46) и граничные условия (23.45) удовлетворяются, если
\ пф О
Х^ф) = —= І х» + і гап cosn^
= -^7 S osn^' (23-47)
* Ti
причем элементы (x?, удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[*",<] = JVin, [*", хН = 0,
[<,<] = m Viw Sm+n. (23.48)
Так как величины (23.47) вещественны, то
х^ = Xfl, a* = atn ¦ (23.49)
Связи (23.41) можно представить следующим образом:
1
где
(?±Г)(ф) = ^(Є±(Ф))\ (23.50)
?±(<Я = 4=Е< ехрТіп0. (23.51)
V7r „
Отсюда видно, что ?—V отличается от S+V заменой ф на —ф. Это обстоятельство упрощает дальнейший анализ, поскольку величина
214 ? + V на интервале — ж < ф < тг содержит всю информацию о величинах ? ±~Р на интервале 0 < ф < ж. Поэтому компоненты Фурье
Ln = \ [ <Іф{? + Т) (23.52)
2 J-тг
эквивалентны множеству величин (23.51) при 0 < ф < ж. Согласно (23.50) - (23.52) имеем
Ln = \ : 12 an-ma»m • (23.53)
m
Смысл операции упорядочения :: в (23.53) определяется методом квантования.
Выпишем также выражения для импульса и момента струны:
P" = J* Лф*» = ^ aS,
J"" = [ йфіХ^ж" -Xv ж») =
. Jo
= (^-^)+1^1( а?а\ - ). (23.54)
пфО
При помощи (23.45) и (23.46) непосредственно проверяется, что
[Р",ПТ] = 0, [Jtiv,Ut] = 0. (23.55)
Это означает, что импульс и момент струны сохраняются.
При общепринятом в настоящее время квантовании основное состояние I 0) удовлетворяет условиям
<|0) = 0, т> 0. (23.56)
Полное пространство состояний является линейной оболочкой векторов вида
<...<10), Tni < 0. (23.57)
Таким образом, все Cnfrl являются линейными операторами в полном пространстве состояний. Из (23.48) и (23.56) следует, что в пространстве состояний (23.57) метрика является индефинитной. Упорядочение в (23.53) означает, что операторы Ocfrl с ш<0 располагаются
215 левее всех операторов с п > 0. При таком упорядочении коммутаторы операторов Вирасоро содержат аномалии:
[Ln, Lm] = {n-m) Ln+m + ^ д(пз _ n). (23.58)
Здесь D - размерность ж-пространства. Поэтому максимум, чего можно достичь - это аннулирование операторов Ln с п > 0. В результате теория оказывается непротиворечивой лишь при значении D = 26. Подробное изучение проблем, возникающих при квантовании (23.56), можно найти в [19, 20].
Обратим внимание на то, что если операторы Вирасоро определены без какого-либо дополнительного упорядочения как
Ln = ^ Y а»т ' (23.59)
т
то аномалия в алгебре Вирасоро отсутствует. Этот факт проверяется путем прямых вычислений с использованием лишь коммутационных соотношений (23.48). Отсюда следует, что в алгебраическом отношении задача построения состояний | ), удовлетворяющих условиям Ln I ) = 0 для всех п, не является противоречивой. Разумеется, эти состояния качественно отличаются от состояний вида (23.56) - (23.57). Линейные пространства, образованные двумя этими наборами состояний, унитарно неэквивалентны.
