Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, согласно (9.3) решение этой задачи сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных линейных уравнений
^ = -? *?>.«"(.)
с заданными начальными условиями ?А(0). Совокупность величин dx?(s)/ds = x?(s) образует компоненты контравариантного вектора в точке «^(s). Этот вектор называется касательным к кривой I.
9.2. Геодезические линии
Пусть касательный вектор к кривой I в точке so переносится параллельно вдоль этой кривой в точку s. Если перенесенный таким образом из точки so в произвольную точку s касательный вектор оказывается равным касательному вектору к кривой / в точке s,
59 то такая кривая называется геодезической линией. Таким образом, уравнение геодезической имеет вид
УХ(.)ВД = 0, (9.5)
где X(s) - касательный вектор к кривой / в точке s.
Заметим, что уравнение (9.5) фиксирует параметр кривой s с точностью до аффинного преобразования s = od + ?, где а ф 0 и ? - константы.
Действительно, результат параллельного переноса вдоль кривой I в точку S не зависит от параметризации этой кривой. В то же время замена параметра кривой s —> t приводит к изменению длины касательного вектора в точке t(s) согласно X(s) —> X(t) = = ds/dt X(s). Поэтому лишь при указанной замене параметра кривой уравнение (9.5) остается справедливым.
Параметры геодезической, для которых справедливо уравнение
(9.5), называются аффинными параметрами.
Рассмотрим уравнение (9.5) в локальных координатах. Для этого в формуле (9.4) следует сделать замену ^a —> dxf!/ds:
d2x" ^u dxu dxx n
Из теории дифференцирования уравнений следует, что уравнение
(9.6) имеет единственное решение при заданных ^(so) и i^(so). Иными словами, задание точки, через которую проходит геодезическая, и ее направления в этой точке однозначно определяет геодезическую.
Геодезическая линия является аналогом прямой линии в евклидовом пространстве.
9.3. Тензор кривизны
Пусть I является замкнутой кривой. Это означает, что ее начало и конец совпадают. Замкнутая кривая называется петлей. Для петли имеем в локальных координатах
x"(s), о < S < 1, ?"(0) = 2^(1). (9.7)
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в точке 2^(0) задан вектор X = ?Аед. Перенесем этот вектор параллельно вдоль петли из
60 точки Xfl(O) в точку x?(l). В результате получается вектор X' в точке = Таким образом, єсть два вектора в точке
X и X'. Очевидно, разность векторов AX = X'- X также является вектором в этой же точке. При помощи уравнения (9.3) компоненты вектора AX = A^j4 єа представляются в следующем виде:
Д e = j^A{s)=-j^i{s)iB(s). (9.8)
Здесь ?s(s) - компоненты вектора, получающегося при помощи параллельного переноса вектора X из точки ж^(0) в точку x?(s) вдоль петли I.
Прежде чем продвинуться дальше в вычислениях, необходимо провести следующее построение.
Без ограничения общности можно считать, что для рассматриваемых локальных координат справедливо равенство x?(0) = 0, т.е. начало и конец петли имеют координаты, равные нулю. Рассмотрим семейство лучей, выходящих из точки x? = 0. Каждый луч имеет непрерывный индекс т = (r0, ..., тп-1), причем
(r0)2+ ... + (r"-1)2 = є2. (9.9)
При движении вдоль луча изменяется параметр s. Локальные координаты точек, лежащих на луче с индексом т, таковы:
X^r = T?s, 0<s<l. (9.10)
Очевидно, множество точек, лежащих на лучах (9.9), (9.10), заполняют некую е-окрестность точки x? = 0. Будем считать, что петля находится в этой окрестности. Кроме того, все рассмотренные лучи пересекаются в единственной точке x? = 0.
Теперь базис векторов {ел} в точке x? = 0 параллельно перенесем вдоль луча x? (s) в точку s и результат этого переноса обозначим {ёд}т,«- Таким образом, получается новый базис сечений некой е-окрестности, обозначаемый {ёл} ¦ Из построения видно, что
VcjlI^=O = O. (9.11)
Поэтому связность Qg в базисе {ёд} обращается в нуль при Xfl = 0. В силу гладкости это означает, что существует такая константа C1, для которой справедливо неравенство
If^WI < C1 є, (9.12)
61 если точка X содержится в указанной е-окрестности.
Так как петля I находится в е-окрестности, то ее "длина" в метрике (ж0)2 + ... (хп_1)2 меньше чем C2 е. Используя последнее замечание и оценку (9.12), находим при помощи формулы (9.8) оценку:
IAf4I < Ce2 Ilfllo. (9.13)
Здесь С - некая константа, a ||?||о - норма вектора X в точке х» = 0 (например, Ilfllo= |f(°0)| + ...+ If^1I ).
Заметим, что значение Afj4 в (9.8) зависит лишь от базиса в точке Xfi = 0. Поэтому полученная оценка (9.13) справедлива не только в базисе {ёд}-^, но и любом другом базисе.
Рассмотрим теперь в е-окрестности векторное поле X, которое строится из вектора X, заданного в точке x?(Q) = 0, путем параллельного переноса вдоль лучей Xj(s). (Очевидно, в базисе {єа} координаты векторного поля X не зависят от точки, оставаясь равными fA(0).) Обозначим координаты поля X через fA.
Оценим интеграл (9.8) с точностью до 0(є2). В этом приближении
= ^OOPOO- (9-14)
Здесь fB(s) означает значение компонент вектора X в точке петли I с параметром s.
