Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
. ,, дхх> дх" дх" „Л , . дхх' д2хх /0<w,
V-W + ем? ¦ (8"34)
В ОНБ К) , а = 0,...,ті — 1, любой вектор представляется в виде
^ = , (8.35)
или, опуская верхний индекс fi, ? = ?аеа. Компоненты ?а являются координатами вектора ? в базисе {еа}. Согласно (8.3) имеем
V^e0 = е6. (8.36)
Для сокращения записи знак тензорного произведения ® далее будет опускаться. Отсюда и из (8.4) находим ковариантную производную в ОНБ {еа}, записанную в компонентах:
V11C = + (8.37)
Так как еа ¦ еь = Sb (см.(8.31)), то
(V^e0) -еь + еа -V^eb = 0.
Отсюда с учетом (8.36) находим
еа -VliCb = -Wbafl,
что эквивалентно
V^ea+W^e6 = O. (8.38)
Учтем теперь, что V?ea есть ковариантная производная ковекто-ра которую можно расписать согласно (8.26). Поэтому (8.38) в компонентах имеет вид
8А - <А + = 0&д,еаи + Wabfl el - TxflCax = 0 . (8.39)
В физической литературе совокупность полей {е?} называется тетрадой, а уравнение (8.39) - "тетрадным постулатом". Обозначим через
wa = el dx" (8.40)
56 п независимых 1-форм, которые назовем формами смещения. Пусть x?(s) - гладкая кривая и X? (s) = dx?(s)/ds - компоненты касательного вектора к этой кривой в точке s. Тогда величина
" ds
является проекцией этого вектора на ковектор еа. Естественно считать совокупность величин и>а(Х) ds = еа dx? компонентами вектора (в ОНБ), соединяющего бесконечно близкие точки на кривой с параметрами S и в + ds. Тогда квадрат расстояния между этими точками
Пусть теперь x?(s,t) - гладкая двумерная поверхность и X1' = = dx^/dsds и У = dx^/dtdt - независимые бесконечно малые касательные к поверхности вектора. Величина
является ориентированной проекцией бивектора X^Yна плоскость (а, 6). Ориентация этой проекции задается порядком индексов а, Ь. Очевидно, величина (8.42) не зависит от локальной системы координат, ее можно считать площадью проекции указанного бивектора на плоскость (а, Ь), снабженной знаком. Рассмотрим в координатном пространстве {x?} в точке поверхности (s,t) бесконечно малый параллелограмм со сторонами Xti и У. Величину (8.42) естественно интерпретировать как ориентированную площадь проекции этого параллелограмма на плоскость (а, Ь).
Из этого рассмотрения видно, что ограничение 1-формы ша на кривую дает длину проекции бесконечно малого участка этой кривой на ковектор еа, ограничение 2-формы и" Л Lob на двумерную поверхность дает ориентированную площадь проекции бесконечно малого участка этой поверхности на плоскость (а, Ь) и т.д.
В частности, величина
задает ориентированный элемент объема многообразия X. Независимость элемента объема (8.43) от локальных координат очевидна, а его независимость от выбора OHB следует из того, что если
ds2 = Tlab (el dx") (el dxu) = dx" dx" .
(8.41)
(8.42)
(8.43)
57 еа = Л° еа, то det Л° = ±1. Поэтому изменение ОНБ может привести лишь к изменению знака п-формы (8.43). Подставим в (8.43) выражения (8.40):
П = е° е\ ...е"'1 dx111 Adx^ A... Adxlln =
?l ?n
= (det eJKn!)-1 Ac"1 Л... Ada:"" . (8.44)
Здесь ??i,..fln - абсолютно антисимметричный символ и Єо і... (n-i) = = 1. Согласно (8.31) | det еа \ = Везде далее мы пользуемся
стандартным обозначением д = det g?„. Из (8.44) видно, что величина
Elll^n = VlgK1...?. (8-45)
является полностью антисимметричным псевдотензором. Приставка "псевдо" означает в данном случае изменение знака величины при изменении ориентации локальной системы координат. Тот факт, что величина (8.45) является псевдотензором, легко проверить непосредственно, сравнивая ее компоненты в разных системах координат.
Из сказанного следует, что в локальных координатах Xtl положительный элемент объема многообразия имеет вид
dV = VW\dx° dx1 ...dx"'1 = V\gldnx. (8.46)
§ 9. Параллельный перенос векторов вдоль кривой.
Тензоры кривизны и кручения
9.1. Определение параллельного переноса векторов
В целях экономии места обозначим базис сечений в некой триви-ализующей координатной окрестности U через {е^}, А, В,... = = 0,...,7? — 1. В качестве базиса обычно подразумевается либо координатный базис {dJdxti), либо ОНБ {еа} (см.(8.30)-(8.31)). Любой вектор из касательного расслоения в окрестности U представляется в виде X = ?аєа и его ковариантная производная в компонентах имеет вид
= + 1(9-1)
58 Пусть x? - локальные координаты в окрестности U и x? -гладкая или кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в окрестности U, которую обозначим I. Пусть во всех точках кривой I определены векторы X(s), гладко зависящие от параметра s. Будем говорить, что вектор X параллельно переносится вдоль кривой /, если ограничение 1-формы VX на I равно нулю:
VX|, = 0. (9.2)
Перепишем уравнение (9.2) в компонентах:
dtA = -u>UB, uA = TA/-?ds. (9.3)
Формула (9.3) задает изменение компонент вектора в фиксированном базисе при его параллельном переносе вдоль кривой.
Мы видим, что следующая задана является корректной и имеющей единственное решение:
В начальной точке кривой / задан вектор X(O). Найти в каждой точке кривой / вектор X(s), который получается путем параллельного переноса вдоль кривой вектора X(O) из начальной точки (при S = 0) в текущую точку кривой, имеющей значение параметра s.
