Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(ж1)2 + ... + (г")2 < а2.
37 Ориентацию многообразия дХ возьмем состоящей из двух карт, задаваемых координатами х2, х3,...,хп при условии ж1 = ф(г) (для V1) и -X2, X3,..., хп при условии X1 = —ф{г) (для V2 ), где г = vV)2 + • • • + (хп)2, ф(т) = іJa2 — г2 и г < а. Общий вид (п — 1)-формы на n-мерном многообразии таков:
п ^
и = Y pi(x)dxl Л ...Arfr A... Adxn . (6.6)
1=1
Здесь шляпка над 1-формой dx означает, что эта форма отсутствует во внешнем произведении в соответствующем слагаемом в правой части равенства (6.6). Формула(б.б) верна для каждого слагаемого в правой части равенства (6.6) в отдельности. Рассмотрим, например, форму
и = р(х) dx2 А ... A dxn . (6.7)
Имеем
Поэтому
du = ^rdxx Adx2 A... Adxv Ox1
f du = f dx2...dx" [Ф{Г) dx1I^- = Jx J 0<r<a J-<P(r) OX
= I dx2...dxn{p^(r),x2,...,xn)-p(^(r),x2,...,xn)}.
J0<r<a
(6.8)
Правая часть равенства (6.8) совпадает с Jq^, и, что очевидно из формулы (ср. с (6.4))
/ U=I і\ш + / i\u ,
Jax Jv1 Jv2
где іа : Va —t X , а = 1,2 - описанные вложения.
Аналогично доказывается справедливость формулы (6.5) для всех остальных слагаемых в правой части (6.6).
2). Для более сложного случая суть доказательства теоремы Стокса сводится к разбиению многообразия X на отдельные подмногообразия Xa аналогично (6.3). При этом для каждого подмногообразия должен существовать атлас, состоящий из одной карты,
38 координаты которой заполняют простую область в Rn, для которой формула Стокса уже доказана. В таком случае равенство (6.4) позволяет доказать теорему Стокса в произвольном случае. Мы предоставляем читателю проведение строгого доказательства случая 2).
3). Рассмотрим вырожденный случай п = 1. Определим интеграл от 0-формы (т.е. функции) по 0-мерному ориентированному многообразию X формулой
/ /=?ф)/(р)- (6.9)
Jx р
Для п = 1 формула (6.5) принимает вид
fdf= f(b) - Да), (6.10)
Jx
где X - отрезок, направленный от точки а к точке 6. Таким образом, для п = 1 формула Стокса переходит в формулу Ньютона-Лейбница. ?
Пусть теперь X - n-мерное подмногообразие с краем ш-мерного многообразия 3у и г : X —> У - вложение. Пусть далее и есть (п — 1)-форма в у. Тогда справедлива
Теорема 1'. (Теорема Стокса для подмногообразий с краем). Имеет место формула (6.5).
(Мы заменяем обозначение і*ш обозначением ш для сокращения записи).
Теорема 1' непосредственно вытекает из Теоремы 1.
В заключение этого параграфа заметим, что теорема Стокса содержит в себе хорошо известные из курса математического анализа формулы Грина, а также Гаусса-Остроградского и Стокса соответственно в пространствах R2 и R3.
39 ГЛАВА II ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 7. Векторные расслоения
7.1. Определение векторных расслоений
Будем обозначать символом К" n-мерное вещественное или комплексное пространство.
Определение 1. Тройка ? = (?, тт. В), состоящая из топологических пространств ?, В и непрерывного отображения
тг (7.1)
называется векторным расслоением ранга п над R или С , если
а) для любой точки 6 Є В множество
Tb = я-"1 (6)
является n-мерным линейным (векторным) пространством над R или С;
б) условие локальной тривиальности: существует такое открытое покрытие {Uа} пространства В и такие гомеоморфизмы (взаимно однозначные и непрерывные в обе стороны отображения)
фа : Ua X Kn —> Eva , (7.2)
где Sua = TT-1Ua- ЧТО
61) для любой точки (6, х) Є Ua X Kn имеет место включение Фа(Ь, х) Є Th-
Отсюда следует, что для любой точки 6 Є Ua фа осуществляет изоморфизм
фа : ь X Kn «—> Tb ;
62) для каждой точки b ? В отображение
Фа,ь ¦ Kn -> Tb ,
40 определяемое формулой
Фс,ь(х) = Фа(Ь> Х) > Х Є Kn ,
является изоморфизмом линейных пространств. ?
Пространство В называется базой векторного расслоения пространство ? - его тотальным пространством, а отображение 7г - проекцией. Линейное пространство Тъ называется слоем расслоения ? над точкой b Є В. Ранг п векторного расслоения называется также размерностью этого расслоения и обозначается символом dim
Гомеоморфизм фа из (7.2) называется тривиализацией расслоения ? над открытым множеством Ua, а открытое множество Ua — тривиализующей окрестностью. Покрытие [Ua), состоящее из тривиализующих окрестностей, называется тривиализую-щим покрытием. Семейство {(Ua, фа)} тривиализаций (Ua, фа) называется тривиализующим атласом.
Непрерывное отображение s : В —> ?, удовлетворяющее соотношению 7Г о S = id, называется сечением расслоения Непрерывное отображение S : В —> ? тогда и только тогда является сечением, когда s(b) Є Tb для любой точки 6 Є В, т.е. когда оно выбирает в каждом слое Ть вектор s(6). На этом основании сечения расслоения ? называются также векторными полями на В.
Имеют место следующие очевидные факты: для любых сечений s, S1, S2 и любой вещественной (комплексной) функции / на В формулы
(Sl + s2)(b) = Sl(b) + s2(b) , (fs)(b)=f(b)s(b), be B
определяют сечения si + s2 и fs расслоения ?. Отсюда следует, что относительно операций (sj, s2) >-> «і + s2 , (A, s) 1-4- As, где A - вещественное (комплексное) число, множество Г? всех сечений векторного расслоения ? является линейным пространством над полем вещественных (комплексных) чисел, нулем которого служит нулевое сечение 0, сопоставляющее каждой точке b 6 В нуль пространства Ть- Более того, бесконечномерное линейное пространство Г? является модулем над алгеброй всех непрерывных вещественных (комплексных) функций на В.
