Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Vsj = Tjfc dxk ® Si, (8.2)
48 где FJfc - гладкие функции на U. Равенство (8.2) записывается также в виде
Vsj = w) ® Si , Ljj = rjfc dxk EQ1U. (8.3)
Для сокращения формул мы вместо V|y пишем V. При этом формы Wj однозначно определяют дифференцирование.
Действительно, если s = f'si, то используя (8.1) и (8.3), получаем
Vs = (df' + Wjf3) ® Si. (8.4)
Если Ur - другая тривиализующая координатная окрестность с базисом сечений {si<} и
VsjI=Uijl^si', на U', S1V=^Si, 8і = Фі8і> на UnU', (8.3') то
VSji = йф^і ® St- + </>},Vsi = dфj, ® Si + ® Sj =
= (#}, + ® ф*'Sji = фi^(dфij, + ® Si-,
и, значит,
ц: = ф],ш) + . (8.5)
Обратно, если на окрестностях U и Ur заданы ковариант-ные дифференцирования, действующие соответственно по формулам (8.3) и (8.3'), и если имеют место соотношения (8.5), то на пересечении U nU' эти дифференцирования совпадают. Это означает, что справедливо следующее
Предложение 1. Пусть {Ua} - открытое покрытие многообразия В, состоящее из тривиализующих координатных окрестностей. Тогда каждое ковариантное дифференцирование V определяет для любого а формы W^t j на Ua, причем для любых а и а' эти формы на окрестности Ua П Ua' связаны соотношениями (8.5).
Обратно, задание для любого а форм w^'j, связанных соотношениями (8.5), однозначно определяет ковариантное дифференцирование V, действующее на каждой окрестности Ua по формуле (8.4).
49 Пусть X - векторное поле на многообразии В или, что то же самое, сечение касательного расслоения rg. Если U - тривиали-зующая координатная окрестность в В, то Х% - координаты поля X в базисе д/дх% (см.(3.11)). Обозначим значение формы (8.4) на векторном поле X через Vxs. С учетом (8.3) и (2.8) находим
Определение 2. Сечение Vxs называется ковариантной производной сечения S по векторному полю X. При X = д/дхк оператор Vx обозначается символом V^ и сечение Vk называется частной ковариантной производной по хк сечения s Є Г(?|(/). ?
Из определения имеем Vxs = XkVkS. Равенство (8.6) часто записывают также в виде
= U + (8.6')
Вместо (Vkf)' часто пишут также Vkf-
Далее мы рассматриваем только метризованные вещественные векторные расслоения.
Определение 3. Пусть ? = (?, 7Г, В) - расслоение. Гладкая функция g : ? —R, ограничение которой на любом слое Ть , Ь Є В, является невырожденной вещественной квадратичной формой, называется метрикой на расслоении. ?
Пусть U - тривиализующая координатная окрестность в В: sі, ...,sn - какой-нибудь базис сечений расслоения и X = XiSi ~ какое-либо сечение. Согласно определению 3 метрика задает функцию
g(X, X) = 9ij XiX^ , (8.7)
где коэффициенты gij являются гладкими функциями локальных координат Xі, ..., хп и симметричная матрица (? является невырожденной матрицей.
Напомним тот факт, что всякая квадратичная форма порождает симметричную билинейную форму. Пусть X = X'Si и Y = Y1S1- -
50 сечения. Тогда билинейная форма на сечениях, которая также называется скалярным произведением сечений, определяется согласно правилу
g(X,Y)=l-{g{X + Y,X + Y)-g (X, X) -g(Y,Y)}. (8.8) С учетом (8.7) скалярное произведение (8.8) записывается в виде
g (XtY)b = дф) XiY* . (8.9)
Подчеркнем, что в (8.9) все величины берутся либо в точке Ъ Є B1 либо в слое Ть- Поэтому определенная метрика называется также послойной метрикой. Билинейная форма (8.9) чаще называется скалярным произведением сечений X и Y и обозначается X ¦ Y или (в локальных координатах) X1Yi1 где Yi = gtjY^, или XiY'. Из введенных обозначений имеем также
9ij = Si ¦ Sj = 9ji ¦ (8-Ю)
Из линейной алгебры известно, что для всякой симметричной невырожденной вещественной матрицы существует такая невырожденная матрица t%a, г, а = 1, ..., п, что имеет место равенство
*Uij4 = 4ab, (8.11)
причем матрица г) является диагональной, и ее диагональные элементы равны ± 1.
Далее для нас представляют интерес лишь два случая:
1) Индексы а, 6, ..., а также i, j, ... пробегают значения 0,1, ..., п — 1 и що = 1, '711 = ... = f)n-i,n-i = —І- Такую метрику мы будем называть локально-псевдоевклидовой. В этом случае вместо индексов г, j, ... мы будем пользоваться индексами ц, и = 0, ..., п — 1.
2) Индексы а, 6, ..., а также г, j, ... пробегают значения 1, ..., п и tjii = ... = tjnn = 1. Такая метрика называется здесь локально-евклидовой. В этом случае мы пользуемся индексами a,?,... вместо индексов а, Ь, ....
Матричные элементы t'a в (8.11) могут быть выбраны гладкими функциями в каждой тривиализующей координатной окрестности. Тогда сечения еа = VaSi являются гладкими. Комбинируя (8.10) и (8.11), находим
еа • еь = Tjab ¦ (8.12)
51 Базис сечений {еа}, удовлетворяющий условиям (8.12), называется ортонормированным базисом (ОНБ). Мы видим, что в любой три-виализующей координатной окрестности может быть выбран ОНБ, состоящий из гладких сечений.
Вернемся к базисам сечений общего вида.
Пусть UkU'- две тривиализующие координатные окрестности с базисами сечений {s,} и {s»'} соответственно. Для любого сечения S на UDU' имеем
