Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что тх является гладким расслоением. Пусть (Ua, х1, ..., хп), (Up, у1, ..., уп) - две карты и ре Ua П Up. Поскольку = К> ¦ ¦ W") Є Rn, где W = и,'(д/ду%, и фа:Р(у) = = ь1(д/дх')р, где V = (и1, ..., vn) Є Rn, то мы имеем
Последняя формула означает, что функции перехода в смысле определения 2 в заданном случае имеют вид
IhMH = (§?) -
45 Отсюда видно, что расслоение Tx является гладким.
Расслоение тх называется касательным расслоением над многообразием X.
Пример 3. В точности аналогично касательному расслоению над многообразием X строится расслоение над многообразием X, точками которого являются всевозможные тензоры типа (а, Ь) над многообразием X.
В частности, для (a, b) = (1, 0) такое расслоение обозначается т*х, для (а, Ь) = (1, 1) соответствующее расслоение имеет обозначение тх®т%, а при (а, 6) = (1, 2) для расслоения имеем обозначение тх ® тх ® . Отсюда очевидно обозначение для произвольного тензорного расслоения типа (а, Ь). Сечениями тензорных расслоений типа (a, b) являются тензорные поля типа (а, Ь) на многообразии X.
7.3. Тензорное произведение расслоений
Пусть ? = , Tr^, В) и г) = (?n, ттп, В) - векторные расслоения над полем К рангов пит соответственно с одной и той же базой В и ТІ и T^ - слои расслоений ( и і) над точкой 6 Є В. Рассмотрим пространство
S = U Tl® Tl,
ьев
являющееся дизъюнктным объединением пространств ® T^, и тройку (?, 7Г, В), где тг : ? —> В - естественная проекция.
Условие а) определения 1 выполнено, причем Ть = тг_1(6) = = T^ ® T^ является векторным пространством размерности тп (см. конец § 3).
Пусть {Ua} - открытое покрытие пространства В , которое является тривиализующим для каждого из расслоений ? и г] и
^f ; Ua X Kn —> 4в , Ф1 : Ua X Km —> Sla
- тривиализации расслоений ? и г) над Ua ¦ Тогда тривиализация расслоения (?, тг, В) над Ua задается отображением
ФІ®ФІ:иах(К"®Кт)-*?иа,
46 где линейное отображение ® фпа)ь для b Є Ua задается на базисе е,- ® fj согласно формуле
(ФІ®ФІ)ь(Єі ® fj) = (ФІ)ь(Єі) ® (Ф1)ьШ ¦
Здесь ei, ..., еп и /i, ..., fm - базисы пространств Kn и Km соответственно.
Определение 3. Построенное векторное расслоение (S, ж, В) обозначается символом ? ® Tj и называется тензорным произведением векторных расслоений ? и г]. Оно гладко, если гладки расслоения { я і). О
Очевидно, расслоения тх ® тх и Т-Д- являются тензорными произведениями расслоений тх и и т.д.
Если U является тривиализующей окрестностью расслоения то каждая тривиализация ф : U х Kn —> Su определяет в Г(?|іг) сечение s по формулам
S1' (6) = ф(Ь, Є,) , І =1,...,71,
где {е{} - стандартный базис пространства К'1. Так как для любой точки b Є U векторы {s,- (6)} составляют базис линейного пространства Ть, то каждое сечение s : U —> Su задает на U функции {/'(6)} со значениями в К, удовлетворяющие соотношению
п i=i
которое эти функции однозначно определяет. Если сечение s -гладкое, то функции /'(6), і = 1, ..., п - также гладкие.
§ 8. Ковариантный дифференциал и связность на расслоении
Пусть ? = (?, 7Г, В) - произвольное гладкое А'-векторное расслоение ранга п над m-мерным многообразием и пусть Tg при K = R - кокасательное расслоение над В, а при K = C - его комплек-сификация. Через Г? обозначим FkB-модуль гладких сечений
47 расслоения (Напомним, что FkB означает множество гладких функций над В со значениями в К). Рассмотрим гладкое К-векторное расслоение Tg и Fk B-модуль его гладких сечений.
Определение 1. Линейное отображение V = Tf-
называется ковариантным дифференцированием или связностью, если оно удовлетворяет тождеству Лейбница, т.е. если для любой функции / Є FkB и любого сечения S Є Г? имеет место равенство
V(/s) = df® S + /Vs. (8.1)
Напомним, что df является сечением расслоения Tg , и потому df ® S -сечение расслоения Tg Сечение Vs расслоения Tg называется ковариантным дифференциалом сечения s. ?
Из формулы (8.1) следует, что отображение V обладает свойством локальности, т.е. если сечения Si и S2 равны вблизи точки бо Є В, то сечения Vsi и Vs2 также равны вблизи bo. Действительно, если si = S2 на окрестности U точки bo и если ф -гладкая функция на В, равная единице на некоторой окрестности W С U точки bo и равная нулю вне U, то сечение Ф(б2 — Si) тождественно равно нулю и, значит, dф ® (s2 — si) + фЧ(в2 — si) = О на В. Поэтому V(s2 — si) = 0 на W.
Так как оператор ковариантного дифференцирования локален, то имеет смысл говорить об его ограничении на открытое подмножество многообразия В. Если совокупность открытых подмножеств Ua покрывает многообразие В, то глобальная связность однозначно определена своими ограничениями на Ua .
Пусть U - тривиализующая координатная окрестность в В и si, ..., sn - какой-нибудь базис сечений расслоения так что
любое сечение может быть однозначно записано как сумма /1Si + ... + /"sn, где коэффициенты /1 являются гладкими функциями. Очевидно, что {dxk ® Si; 1 < і < п, 1 < к < т} - базис сечений расслоения (-Tg ® ?)|сг и для каждого j = 1, ..., п имеет место равенство вида
