Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. До сих пор предполагалось, что п > 0. В вырожденном случае п = 0 многообразие X представляет собой множество изолированных точек. Будем говорить, что нульмерное многообразие X ориентировано, если каждой его точке р сопоставлен знак є(р)=± 1. ?
Определение 2. Многообразие с краем X называется ориентируемым (ориентированным), если ориентируемо (ориентировано) многообразие int X. На ориентированном многообразии краевая карта (U, h) называется положительной, если положительна внутренняя карта (U flint X, /i|unint х)- D
и
34 Если (Ua,ha) - атлас на многообразии X, то (Va, ha|уо), где Va = Ua OdX, образует атлас на многообразии дХ (см. конец § 1). Карта (Va,ha\va) называется высеченной на дХ картой (Ua, ha).
Покажем, что если краевые карты (Ua, ha) и (U?, h?) положительно согласованы, то соответствующие им высеченные карты (Va, ha\va) и (V?, h?\v?) также положительно согласованы.
Действительно, пусть (Ua, ha) = (UajX1,.. .,хп) и (U?, h?) = = (U?, у1,..., уп) -две краевые карты на X. "Условия х1 = 0, у1 = О задают соответствующие карты на дХ. Поэтому на Va П V? имеют место равенства
ду1
Поэтому
а**"0' * = 2<
ду> ду1 , ^ Oyk
detM=WdetM На vanvIi-
Здесь г, j = 1,..., п, а к,I = 2,.. .,п. С другой стороны, так как у1 < 0 тогда и только тогда, когда х1 < 0, то By1Idx1 > 0 на VaOV?. Отсюда следует, что если две краевые карты на X положительно согласованы, то соответствующие им высеченные на границе дХ карты также положительно согласованы.
Если краевая карта положительна, то будем говорить, что высеченная ею на границе карта также положительна.
Предположим теперь, что п-мерное многообразие X ориентируемо и ориентировано. Так как при п > 0 для любой точки р Є дХ, очевидно, существует положительная карта, содержащая точку р, то все положительные карты на дХ образуют атлас положительно согласованных карт на дХ. Об ориентации на дХ, задаваемой этим атласом, мы будем говорить, что она индуцирована ориентацией многообразия X.
При п = 1 многообразие X является системой отрезков, а дХ состоит из их концов. Ориентация многообразия X задает на этих отрезках направление, и мы введем на дХ ориентацию, считая, что правый конец каждого отрезка имеет знак " +", а левый - знак " —".
Таким образом, край ориентируемого (ориентированного) многообразия является ориентируемым (ориентированным) многообразием.
Простейшие примеры ориентируемых многообразий без края -это пространство Rn, сфера Sn, n-мерный тор.
35 Простейший пример неориентируемого многообразия с краем -лист Мебиуса. Обозначим через L прямоугольник:
L = { (ж, у) Є R2 : -10 < X < +10. -1 < у < 1} .
Теперь в пространстве L отождествим точки (10, у) и (—10, —у) для — 1 < у < +1. Полученное таким образом пространство X называется листом Мебиуса. Нетрудно понять, что лист Мебиуса -неориентируемое многообразие.
Пусть X - n-мерное ориентированное многообразие (возможно, с краем) и ш - n-форма на X. Обозначим через Jx ш интеграл от формы и по многообразию X , который определяется следующим образом:
1). Пусть для многообразия X существует всего одна карта (x, x1,..., хп), покрывающая все многообразие x1 эта карта положительна, и координаты (ж1,..., хп) заполняют измеримое множество G С Rn. Очевидно, форма ш в этой карте имеет вид
W = р(х) dx1 Л ... Л dxn .
Тогда, по определению
[ lo= { p(x)dxl ...dxn . (6.1)
Jx Jg
Пусть (x, x1 ,... ,хп ) - другая положительная карта, покрывающая все многообразие, причем координаты (г1 ,..., хп ) заполняют измеримое множество G' С -Rn- В этой карте
W = р{х{х')) ^det dx1' Л ... Л dx"'
и, согласно определению,
j w = j р(х(х')) ^det dx1'dx2'... dx"'. (6.2)
Так как det (дх/дх') > 0, то правые части соотношений (6.1) и (6.2) равны. Это доказывает корректность определения интеграла от n-формы по n-мерному многообразию в случае 1).
36 2). Если многообразие X таково, что его любая ориентация содержит более одной карты, то многообразие X следует разбить на такие подмногообразия Xa (возможно, с краем), что
X = UXa, XanX? = 0, афР, (6.3)
и на каждом подмногообразии Xa существует атлас, состоящий из одной положительной карты. Знак карты на Xa задается ориентацией на X.
По определению
f * = y f г>- ^6-4)
Jx а Jxa
где і : Xa —> X - вложение. Легко понять, что правая часть (6.4) не зависит от разбиения многообразия X согласно (6.3).
Заметим, что интеграл от дифференциальной формы по многообразию изменяет знак при изменении знака ориентации многообразия.
Пусть X ~ n-мерное многообразие с краем дХ, ориентация на котором задается ориентацией X, і : дХ —У X - вложение и ш -- (п — 1)-форма на многообразии X. Поэтому определен интеграл
f г*ш, JdX
который для сокращения всегда обозначается символом
Теорема 1. (Теорема Стокса). Имеет место равенство
[ diu = [ uj. (6.5)
JX JdX
Доказательство. 1). Рассмотрим сначала случай, когда ориентация многообразия X состоит из одной карты (X, х1,..., хп) и ее координаты заполняют n-мерную сферу
