Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
материи в формули-
ровке (б) требует выполнения равенства
Dj4(,L'*) = Dji'Z,'*) = 0, (15.139)
и мы получаем такие же связи на поле FMn, как и выше.
С помощью ковариантной связи можно исключить потенциал Ат [57], выразив
его через АВ1 и А^г Соответствующая связь имеет вид
PA'6t = 0. (15.140)
Это аналогично переходу от формализма первого порядка к формализму
второго порядка в общей теории относительности. Остающаяся напряженность
с наименьшей размерностью, равной 1, есть
W = FAiAi. (15.141)
Благодаря тождествам Бьянки из связей (15.138) и (15.140)
следуют формулы __ _
g>A.W=-0, @iiW = @iiW, (15.142)
совпадающие с полученными нами выше.
|6 ФОРМУЛИРОВКА (Д = 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ
16.1. Геометрия
Геометрическая форма [68] суперпространственной формулировки
супергравитации содержит многие элементы общей теории относительности, но
требует также дополнительных построений. Полезным руководством в
конструировании локального суперпространства служит требование, чтобы оно
содержало глобальное суперпространство как предельный случай.
Начнем с восьмимерного многообразия г1 - (хи, 0^) (хи -
коммутирующая координата, а 0- - антикоммутирующая коор-
дината), для которого общекоординатное преобразование суперпространства
имеет вид
zn^z* = zn + ln, (16.1)
где == (?*\ ?-) - произвольные функции от zn.
Так же как в общей теории относительности, можно рассмотреть скалярные
суперполя, т. е. поля, для которых
ф'(г') = ф(2), (16.2)
и поля с суперпространственными мировыми индексами фА, например
ФА - дф/дгк. (16.3)
Последние преобразуются по закону
ф'^г">=-§г *"<*>¦ <16-4>
Трансформационные свойства тензоров высших рангов очевидны.
Теперь необходимо конкретизировать геометрическую структуру многообразия.
По причинам, которые станут очевидными ниже, суперпространственная
формулировка по существу аналогична тетрадной формулировке в общей теории
относительности. Введем супертетрады Елы, которые при общекоординатных
преобразованиях суперпространства изменяются следующим образом:
ЬЕп" = 1*дкЕя* + dnlKEA N. (16.5)
ФОРМУЛИРОВКА (У = 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 153
Верхний индекс N преобразуется под действием группы преобразований
касательного пространства, в качестве которой выбираем группу Лоренца;
поэтому 6EnN - ЕлмАмм, где
Матрица Amn является произвольной функцией на суперпространстве, и с ее
помощью преобразуются не только векторные, но и спинорные индексы.
Поскольку мы имеем дело с восьмимерным многообразием, можно выбрать
гораздо более широкую группу касательного пространства. Например, Amn
может быть произвольной матрицей, сохраняющей метрику
где а\, а2 и а3 - ненулевые произвольные постоянные. Требование
действительности метрики означает выполнение равенства а2* = а3, и один
нз масштабных факторов можно исключить. Это соответствует выбору группы
Osp(4, 1) в качестве группы касательного пространства. В такой
формулировке можно ввести метрику g^\= E^N gNME\м, и мы получаем теорию,
копирующую на каждом этапе построения общую теорию относительности
Эйнштейна [69].
Но такая формулировка не приводит к рассмотренной выше (N - 1) -
супергравитации в х-пространстве. Чтобы понять это, заметим, что
введенная выше группа касательного пространства не совпадает с группой
глобального суперпространства (суперпространство есть фактор-
пространство: супергруппа Пуанкаре/группа Лоренца), которое имеет в
качестве группы касательного пространства группу Лоренца, заданную
соотношением (16.6) с постоянной матрицей Атп. Так как линеаризованная
супергравитация в формализме суперпространства должна включать
формулировку суперпространства с глобальной су-персимметрией в качестве
предельного случая, любая теория, основанная на касательной группе Osp(4,
1), не будет совпадать с линеаризованной супергравитацией. В
действительности теория, основанная на группе Osp(4,1), содержит высшие
производные в действии.
Важное следствие выбора этой ограниченной группы касательного
пространства состоит в том, что касательные супервекторы VN = VnEnN
принадлежат приводимому представлению группы Лоренца. Это позволяет
записать много дополнительных
- \ (0'тп)лВЛ;
о
О
. (16.6)
gNM = а^шп + а2ЪАВ + аъЧ В >
(16.7)
154
ГЛАВА 16
инвариантов. Каждый из объектов VmVm, VAVBzAB, VAVBz^A в отдельности
инвариантен.
Другими словами, при выборе метрики (16.7) постоянные аи а2, а3 могут
принимать любые значения, в том числе и нулевые.
Определим спиновую связность со значениями в пространстве представлений
группы Лоренца:
¦&АтП О О
0 0 |. (16.8)
.0 0 ~ QAmn(amn)AB
Эта связность при общекоординатных суперпреобразованиях видоизменяется
следующим образом:
б&amN = fdnQAMN + длГОялЛ (16.9)
а при вращениях в касательном пространстве преобразуется как
6Qam" = - длОм" + QamsA/ + QArNLmR ( -1 )Щ+Ю (N+R) -
- dALMN + QamLsn. (16.10)
При этом ковариантные производные определены соотношением
ДЛ = дл + уПлтХт, (16.11)
где Jmn - соответствующие лоренцевы генераторы (см. приложение А).
