Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Комплексно-сопряженные равенства имеют вид
ТавС = ТХвп = 0. (16.35)
Проводимый нами анализ имеет много общего с методами
вычислений в теории Янга - Миллса с глобальной суперсим-
метрией, и прежде чем идти дальше, проще всего (но не обязательно)
наложить стандартные связи [56, 57]. Спиновая связность Qrmn может быть
выражена через супертетраду ЕМА- Например,
Q - Tmnr = Cmn + Q-mn - (pl *-* П),
где связь
С мы* = ЕМК (дАЕмл) Е/ - (-1)M/V (М ^ N) (16.36)
158
ГЛАВА 16
может быть решена так же, как это делается при переходе от формализма
первого порядка к формализму второго порядка в общей теории
относительности. Аналогично связь
О = ТАВС = САВС + Qabc + (А ^ В) (16.37)
можно использовать для решения относительно 0,Авс¦ Решение имеет вид
&АВС = у (С ABC + С СВ А С вс а)- (16.38)
Связь, которая выражает через ЕМА, имеет вид
ТА(ьд>= о. (16.39)
Напомним, что спиновая связность принимает значения в про-странстве
представлений группы Лоренца, следовательно, Qnab = 0 и т. д. Спиновые
связности QABC и &ав° могут быть найдены путем решения комплексно-
сопряженных по отношению к приведенным выше связей (Т-АВС = 0 = ТА^ВС^.
Важно отметить, что при решении этих связей не возникают дифференциальные
уравнения; QNmn выражается через E^N после решения алгебраических
уравнений.
Две менее очевидные связи выражают ЕтА через ЕАА и ЕдА. Эти связи имеют
вид
bi'-jvKV-". <'6-40>
JV = -2< (¦>%,. (16.41)
Второй член уравнения (16.40) нужен, чтобы исключить из него спиновую
связность. Заметим, что тетрада ЕтА имеет 4X8 степеней свободы, в то
время как каждое из этих двух уравнений содержит 4X2X2 таких членов.
Детальное обсуждение решения этих связей можно найти в работах [6, 56].
Имеется некоторый произвол в выборе стандартной связи; например, вместо
того чтобы разрешить связь ТА^С'> = 0 относительно мы можем использовать
соотношение
V(A)bC = 0. (16.42)
ФОРМУЛИРОВКА (N - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 159
Разные варианты выбора связаны между собой переопределением полей, и все
они равноправны. Мы наложили стандартные связи, приведенные в следующей
таблице:
Связь Суперполе, относительно которого разрешается связь
Ттпг = 0 Qmnr
TMsd) = О
тАвс = о qabc
ТАв ~ ^ )ав
Т • с-----Тл п (пт ) • с = О
1 АВ ^ 1 Am Vs п) в
Рассмотрим теперь, как другие представления глобальной суперсимметрии
обобщаются при переходе к супергравитации. Конечно, мы должны
конкретизировать, какое глобальное суперпространство имеется в виду.
Глобальное суперпространство анти-де-Ситтера (фактор-пространство:
супергруппа анти-де-
Ситтера/группа 50(3,1)) в пределе радиуса R, стремящегося к
бесконечности, превращается в суперпространство Пуанкаре. В
действительности не все представления в суперпространстве Пуанкаре
обобщаются до представлений в суперпространстве анти-де-Ситтера (АдС);
один из примеров дает соотношение Олфв = 0, которое теперь принимает вид
= °, О6-43)
где Das - ковариантная производная в пространстве анти-де-Ситтера.
Причина состоит в том, что в пространстве анти-де-Ситтера производные
удовлетворяют другой алгебре, в частности
{D/, D/} = 1 RSABmnImn, (16.44)
где
Rabcd = -r(8acZbdsbczad) т, TSabN = 0, (16.45)
в то время как RABcd ^ ДРУгие компоненты RsАВтП можно
найти с помощью комплексного сопряжения, а параметр массы т связан с
радиусом R соотношением т = const//?.
Представление (16.43) не обобщается на суперпространство АдС [71, 72],
поскольку
О = {Пд5, DBS} Фс - RSABCDФD = (ЁАсФв + ёВсФа)
160 ГЛАВА 16
Но представление D(A<f*B) = 0 обобщается, принимая вид
I ВД*с = ? Rsabdc*d = 0- (16.46)
(ЛВС) (ЛВС)
Имеет смысл обобщать только те представления, которые существуют в
суперпространстве АдС, чтобы это суперпространство было включено в
качестве предельного случая в общее суперпространство супергравитации.
Наиболее общие неприводимые представления в суперпространстве АдС -
киральное и линейное представления, соответствующие связям [71]
Z)Sw^bc...)(Ab...)==0> (16.47)
^(лв...),лв...) = °- (16-48)
Если нет спинорных индексов без точек, первое уравнение принимает вид
DAj>{k6 ш ) = 0, а второе DA<f>(A? ^ = 0. Проекторы, отвечающие этим
представлениям, равны соответственно [71]
(DASDSA+ тр/б)
Пс(Р, Я) = +К \Г+РГт!3 - ¦ ^16'49>
" , ч {DAsDSA-(p/2 + l)ml3) !лпгт
Пх. (р, q)=-----------(Г+~рТт/3-----------> (16'5°)
где р и q - числа индексов без точек и с точками суперполя, на которое
действует проектор. В качестве примера рассмотрим суперполе без спинорных
индексов. Киральное и линейное представления имеют вид
DASDSA4> = 0, (16.51)
(DASDSA - -у) ф = 0. (16.52)
Действуя еще раз оператором DSA на левые части этих уравнений и используя
соотношение (16.47), найдем, что первое из них приводится к обычному
виду:
Das4> = О, (16.53)
а второе тождественно обращается в нуль. Проекторы удовлетворяют
соотношениям
Пс (р, q) Пс (р, q) = Пс (р, q), Пс (р, q) (р> q) = 0.
ПL (Р> Я) Па iP, Я) = Па (р, я)> nL (р, q) Пс (Р, Я) = °. (16.54)
ПС(Р. <7) + Па(Р, <7) = 1-Потребуем теперь, чтобы все неприводимые
