Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
суперполе L'ikl = L^'ikl) [50], удовлетворяющее соотношению
DAVUV = DAlViM. (15.121)
Этот мультиплет не содержит сохраняющегося вектора или какой-либо другой
величины с подобным условием сохранения, его можно использовать для
описания (N = 2) -материи. Конечно, это ведет к включению большого числа
дополнительных полей, но они не приводят к лишним состояниям на массовой
по-
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИЙ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ 149
верхности, если введено дополнительное суперполе G, компонентные поля
которого действуют как множители Лагранжа. Суперполе G удовлетворяет
условиям
D/D*G = 0 = [/V, Dbl\G. (15.122)
Описание этого мультиплета, содержащего поля материи, принадлежащие
комплексному представлению, дано в работе [60]. Более детальное
суперпространственное описание (N = 2)-материи можно найти в работе [16].
Теперь мы хотим построить действия для рассмотренных выше теорий в
суперпространстве. Для общего (iV = 2) -суперполя ф, для которого дгф =
0, инвариантная величина имеет вид
\d4xd8ty. (15.123)
Но для того, чтобы эта величина была действием, поле ф должно иметь
нулевую размерность.
Поэтому действия для обсуждавшихся выше теорий должны быть интегралами
только по некоторому подпространству суперпространства или должны быть
построены из суперполей, размерность которых ниже канонической.
В случае (N = 2)-теорий Янга - Миллса действие должно содержать только
производные DA\ но не производные DAl, действующие на W, и единственный
кандидат правильной размерности имеет вид [58]
AfM=^d*xDt,DttW2+3pv4iT. сопр. (15.124)
Ясно, что это инвариант, поскольку
6Дям^ (рх (eW + &AiDM) DllDtlW2 = 0. (15.125)
Для гипермультиплета Сониуса соответствующее действие в суперпространстве
[49] имеет вид
^W'(^D^), (15.126)
а для варианта, когда сохраняется вектор Vц, действие выгля-
дит следующим образом [61]:
J dixD^ilDkt) {L(tjLki)). (15.127)
Инвариантность этого действия не очевидна, но может быть
проверена, если использовать антикоммутационные свойства операторов D.
Действие для теории с ослабленной формулировкой гипермультиплета имеет
довольно сложный вид.
150
ГЛАВА 15
Интересная альтернативная формулировка (N = 2) -теории, основанная на
другом, отличном от рассмотренного здесь типе суперпространства, дана в
работе [62].
При квантовании теории обычно работают с полями без связей. В случае
суперпространства это означает, что вычисления проводятся с суперполями
без связей. По существу необходимо прежде разрешить приведенные выше
связи. Важным исключением из этого правила является, конечно, киральное
суперполе ф, но в этом случае также можно воспользоваться соотношением
ф = 521) (15.128)
и проводить квантование с препотенциалом U без связей.
Напомним, что связи для (N = 1)-теории Янга - Миллса
25/g=0, 3> AWA=^3)iiWs (15.129)
разрешались в виде
W6=D2(e~eVD.egvy (15.130)
Решение связей в суперпространстве для сунерполей теории с расширенной
суперсимметрией довольно сложно, и решения в нелинейном случае не
известны. В работе [63] приведено решение связей для суперполя W в
линеаризованной (N = 2)-теории Янга - Миллса. Оно выражено в терминах
суперполя Vl> без связей, имеющего размерность -2, т. е.
W = DiiDljDklVkl. (15.131)
Решение связей для гипермультиплета в ослабленной формулировке включает
препотенциал рд, и поле Х1>ы, размерности которых -3/2 и -1
соответственно [65]. Как было показано, имеется итерационная процедура,
использующая линеаризованные связи для того, чтобы разрешить связи в
неабелевой теории [64, 65].
Рассмотрим теперь (N = 2)-теорию Янга - Миллса с геометрической точки
зрения [55]. Как в обычной теории Янга -
Миллса, введем потенциалы AN, которые определяют ковари-
антные суперпространственные производные:
DN = DN + gAN-Y; (15.132)
здесь Y - генераторы калибровочной группы, а Лдг = (Ллг, Лд(., Лс). Затем
мы можем определить напряженности полей суперсимметричной теории Янга -
Миллса с помощью соотношения
[D^, Dm} -Tum^Dr -f- Fnu • Y, (15.133)
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ 151
где Tnmr - кручение глобального суперпространства, причем единственная
ненулевая компонента этого тензора имеет вид
ТАА=-2Цат)Ай. (15.134)
Суперполе Fmn должно удовлетворять тождествам Бьянки
2 (D^* + W^s*)==Of (15.135)
(MNR)
где символ 2(млч?) обозначает соответствующую симметризацию. Рассмотрим
теперь (N = 2)-материю, например, в формулировке (а), которая следует
ниже. В этой формулировке для сохранения калибровочной инвариантности
необходимо модифицировать определяющее условие:
D Чф" - О - D = 0. (15.136)
Следовательно, мы найдем, что
2 {0лг, Ъв}}Фк = 0=2 р/ёпФк (15-137>
(ijk) ' ' (ijk)
и аналогично для других подобных соотношений. Поэтому необходимо
заключить, что выполняются условия
F <*.п = р <г' n = F.tl.r> = 0. (15.138)
А В А В А В v
Таким образом, мы нашли, что для существования суперсимметричной теории,
содержащей (N = 2)-материю и калибровочные поля, нужно наложить связи на
напряженности полей Янга- Миллса [57]. Анализ (А = 2)-полей
