Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
а так как F0A-A = 0, находим
K=+\{DA\A){°n)AA- (15-96)
Наконец, получаем
й^ол = -2iF*Ah = -2i [D/, D0"] (0Г")ЛА = D*D&
(15.97)
Поскольку
Tr WaWa = Tr W0AW0A, (15.98)
мы снова приходим к действию Янга-Миллса (15.26).
15.4. Теории е N = 2 в суперпространстве
Теперь мы повторим предыдущее обсуждение (N = 1)-теорий в
суперпространстве для случая N - 2. Начнем с вывода формулировки в
суперпространстве (N = 2)-теории Янга - Миллса [58]. Останавливаясь на
формулировке в х-пространстве, данной в гл. 12, воспользуемся методом
"калибровочного расширения". Суперполе составляют следующие компонентные
поля в
146
ГЛАВА 15
х-пространстве:
(*, Аль F"V, Сг/), (15.99)
где z = А + iB. Преобразование суперсимметрии поля z имеет вид
6 z = eAilAi. (15.100)
Поскольку преобразование не содержит eAi, можно заключить, что если z
является (0 = 0)-компонентой комплексного суперполя W (х1*, 0f, 0В/, z),
то W должно быть киральным суперполем
DXiW = 0. (15.101)
Эта связь означает, что
Pav D^W = 2zkiszijDzW = Q> (15.102)
или
DZW=-^W = 0, (15.103)
поэтому W не зависит от бозонной координаты z центрального заряда.
Теперь необходимо определить, не должно ли суперполе W иметь еще какие-
нибудь связи в суперпространстве, чтобы описывать (N = 2)-теорию Янга -
Миллса. Набор полей в х-про-странстве комплексного кирального суперполя W
можно найти, действуя на него операторами DA' и вычисляя все возможные
независимые суперполя при 0 = 0. После этого приходим к полям z, к'А,
t^AB, t'lkABc, tilklABCD, которые являются (0 = 0)-компонентами
соответственно следующих суперполей:
W, DlAW, D\D'b\V, D^D^W, D^D^W. (15.104)
Поскольку W не содержит центрального заряда, имеются свойства симметрии
ti!Ав = - *ПвА и т- Д- (15.105)
Используя эти свойства, можно выразить поля tliAB следующим образом:
&АВ = ~Y eiiF(AB) - Y CMeAB. (15.106)
Выполняя этот анализ для всех полей, найдем, что киральное
суперполе W содержит в х-пространстве следующие компонент-
ные поля:
z, К A1, Ci!, Fab, и, d. (15.107)
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 147
По существу требуется наложить дополнительную связь в суперпространстве,
сокращая набор компонентных полей W так, чтобы он соответствовал (N = 2)
-теории Янга-Миллса.
Компонента с наименьшей размерностью, т. е. поле Сн, является комплексной
вопреки действительности полей теории Янга - Миллса с N = 2.
Следовательно, мы должны потребовать, чтобы поле С11 было действительным;
это соответствует следующему условию в суперпространстве:
D4W = DijW, (15.108)
где Dli = DAiDAi. Читатель может убедиться, что такое условие означает
следующее:
= d=l6-6(-d2z), (15.109)
а также
= 0. (15.110)
Подводя итог полученным результатам [22], можно сказать, что поля (N = 2)
-теории Янга - Миллса содержатся в комплексном суперполе W,
удовлетворяющем условиям
DAiW = 0, DliW = DliW. (15.111)
Приведенные выше вычисления выполнены для свободной теории Янга - Миллса
с N = 2. Результаты для полной неабелевой теории должны содержать те же
связи в пределе, когда калибровочное взаимодействие обращается в
нуль; следова-
тельно, эти связи должны иметь вид
DA{W = 0, Di/r = Di/r, (15.112)
где Djv - калибровочно-ковариантная производная, которая может быть
выражена через потенциал калибровочного поля An с помощью соотношения
D* = (Dn + gA") = Е* (дя + gAa). (15.113)
С геометрическими аспектами суперпространственного описания (N = 2) -
теории Янга - Миллса можно ознакомиться в конце этого раздела.
Обратим теперь наше внимание на сектор (N = 2)-материи. В формулировке,
основанной на гипермультиплете Сониуса [49], набор полей в х-пространстве
имеет вид
(А. "Фл. Фл> ft)-
(15.114)
148
ГЛАВА 15
Для низшей компоненты мультиплета А1 имеет место закон преобразования
6Лг = y - y • (15.115)
Поэтому, если мы будем рассматривать поле А' в качестве первой компоненты
суперполя ф\ то ф1 должно удовлетворять условиям
Од'*,-5-s'AV"- (15-116)
Поднимая индекс / с помощью тензора е'7, можно переписать эти условия в
виде
О"ф1) = 0 = ОА<1ф". (15.117)
Нетрудно показать (см. гл. 14), что независимые компонентные поля в х-
пространстве, входящие в фг, являются низшими компонентами суперполей
Фь D/Фь, (15.118)
и комплексно-сопряженных полей. Но этот набор компонентных полей такой
же, как для гипермультиплета Сониуса; следовательно, можно заключить, что
на поле ф* наложены только связи (15.117).
Рассмотрим теперь альтернативную формулировку, основанную на
гипермультиплете, который состоит из набора полей
(L4, "к1 a, S, Р, РД, где d^l/|j, = 0. Преобразование
суперсиммет-
рии действительного поля L'i должно иметь вид
6Lif = гмКА1 + гмКА 1 + (г /); (15.119)
в результате если L'i является первой компонентой действительного
суперполя, обозначенного также L'i, то оно должно удовлетворять
уравнениям [59]
D/Lik> = О, О/Д*> = 0. (15.120)
Читатель может убедиться, что других связей в суперпространстве не
требуется.
Мы можем ослабить условие (15.30) и, следовательно, связь = 0, введя