Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
[57], а именно
ЬТАтт = ЬТАтт - 2Da (2L + Г),
6Я = - 6 (dad^
(16.65)
(16.66)
164 ГЛАВА 16
В действительности Т Атт- единственный остающийся ненулевым тензор
размерности 1 /2.
Можно показать, что вследствие стандартных и сохраняющих представление
связей справедливо уравнение
0+7+ = 0. (16.67)
Решение уравнения (16.67), напоминающее выражения, полученные нами при
обсуждении проекторов, имеет вид
TB = DBT. (16.68)
Следовательно, мы можем выбрать суперконформную калибровку, в которой
Тв = 0. (16.69)
Остающаяся суперконформная инвариантность дается кираль-ным параметром 2*
=(-2) (2L + L*):
Ол2* = 0. (16.70)
Найдем явное выражение для L:
L = -( 22* -2). (16.71)
Тогда преобразование супертетрады имеет вид
6ЕАА = - (22* - 2) ЕАА. (16.72)
Связь Тв = 0 ведет, как мы увидим ниже, к первоначаль-
ной минимальной формулировке (N = 1) -супергравитации, которая, как одна
из возможных, рассмотрена в этой книге (поля 8 ц", Ф|Л М, N и Ьр.).
Остающаяся суперконформная группа известна как группа Хау - Такера.
Мы могли использовать линейную часть L, чтобы положить тензор R = 0.
Остающаяся суперконформная инвариантность дается линейным суперполем S =
L:
D^DaS = 0, (16.73)
а преобразование супертетрады имеет вид
б Ea=SEa. (16.74)
Условие R= 0 ведет к совокупности из (20 + 20) полей (бозон-
ных + фермионных) неминимальной формулировки Брайтенло-нера [74] с
упомянутой выше суперконформной группой [75].
На самом деле можно принять более сложную суперконформную связь
Q = R + 1{DATA + ITATA)^0, (16.75)
ФОРМУЛИРОВКА (JV = 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 165
где ? - параметр. Частные значения ? ведут к первоначальному
минимальному, новому минимальному и брайтенлонеровскому наборам
вспомогательных полей.
Подводя итоги, можно сказать, что первоначальная минимальная формулировка
супергравитации содержит следующие евязи:
стандартную
О -.Т г- Т С = Т -с
и 1 тп 1 АВ 1 АВ '
О - Т ¦п - 2i (ап) ¦ = Т п (а Мв' •
и АВ ^ 'и >АВ 1 Ат {ит ) С"
сохраняющую представление
т с т п о
1 АВ - 1 АВ - и>
суперконформную
и аналогичные для комплексно-сопряженных величин.
Если мы имеем дело с конформной супергравитацией, то можно использовать
суперконформную инвариантность для выбора ТА = R = 0.
16.3. Анализ связей в суперпространстве
Для супергравитации со связями имеются два варианта дальнейших действий.
Мы можем просто решить связи [76, 77] или воспользоваться другой
возможностью и проанализировать следствия этих связей, используя
тождества Бьянки [78]. Это положение очень похоже на ситуацию, которая
имеется в су-персимметричной теории Янга - Миллса (см. гл. 15), но в
случае супергравитации все много сложнее.
Наметим сначала, как использовать тождества Бьянки для того, чтобы
заключить, к каким последствиям приводят связи. Рассмотренные в
предыдущем разделе связи1) (стандартная, сохраняющая представление п
суперконформная) имеют вид
тА&п-Щ°п)Ав = тАВт = о,
ТАтт = ТАВС = Tj = ТАт* (атп). е = 0, (16.76)
Ттпг = о
и аналогичные соотношения для комплексно-сопряженных величин. Лучший
способ анализа тождеств Бьянки - рассмотрение
1) Впервые эти связи были рассмотрены в работе [79].
166 ГЛАВА 16
их в порядке увеличения размерности. Этот прием особенно эффективен,
поскольку позволяет пользоваться линейными соотношениями до тех пор, пока
не встречаются тождества Бьянки размерности 2 (см. ниже).
Все тождества Бьянки размерности 1/2 удовлетворяются автоматически, кроме
тождества 1АВ^т = 0. Последнее имеет вид
0 = ~ DАТвдт + TA/TF6m + RAB6m - DдТАВт + Тд/ТРВт +
+ Rcab"1 - ЪВТсАт + TBcFTFAm + RB0Am• (16.77)
Кривизна принимает значения в пространстве представлений группы Лоренца,
поэтому все приведенные выше слагаемые, содержащие ее, обращаются в нуль.
Производная тензора Тв^ также равна нулю, поскольку это постоянный
тензор. Используя связь ТАвт = 0, мы приходим к тождеству
ТABCDD + 71 BACDD = 0, (16.78)
где
^ABCDD~^Am (а )вс(а")дй.
Следовательно,
Tabcdd ~ 2~eabTEecdd. (16.79)
Связь ТАтп (атп)дС = 0 в этих обозначениях принимает вид
ТАЕвЕс+ТаесЕв=Ъ> (16-80)
и в результате получаем
7'аевЕс = 2 ев с ТАе°ЕЬ . (16.81)
Тогда из соотношения (16.79) следует
тс . . -__L р . . тс d .
1 СВ АС 2 в С1 С AD>
и, подставляя этот результат в (16.79), находим
^ABCDD ~ "Ь ~4 гАВгЬсТ°С^DD' (16.82)
Свертывая по индексам ВС и CD, получаем
TABdBc = -TTCcbAD (16.83)
Но TAmm эквивалентна компоненте ТАввв, удовлетворяющей тождеству
ТАввВв= 0, (16.84)
ФОРМУЛИРОВКА (Л/= П-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 167
следовательно, Тсс^аЬ = 0 и ТАтт = о. По существу компоненты кручения с
размерностью 1/2 или 0 равны нулю, за исключением ТА$п = - 2г (оп)АР.
Поэтому низшая размерность, в которой ненулевые напряженности содержат
билинейные члены TrsfTftn, равна 2. Это оправдывает приведенное выше
утверждение, касающееся нелинейностей в анализе тождеств Бьянки.
Для тождеств Бьянки размерности 1 члены вида DT обращаются в нуль, и член
Г2 равен нулю, если он не имеет вида T2i(an)Ag. Например, тождество 1АвтП
