Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
= J d4xd4W {-DaD2Da V) = J d4xd4ev (- DAD2DAV) =
= J d4*d40 (DaVD2DaV) .
Читатель может легко проверить, что это действие имеет правильные
размерности полей (У должно быть безразмерно, поскольку [Wa] - dim [Ал] =
3/2) и определенно является действием (N = 1) -суперсимметричной абелевой
калибровочной теории (см. гл. 6). Отсутствие в нем полей низших
размерностей, содержащихся в суперполе V, гарантируется его калибровочной
инвариантностью.
Обобщение этих результатов на случай полей Янга - Миллса начнем с
обобщения калибровочного преобразования
136 ГЛАВА 15
где V=V'Ti, A = A'Ti, а 7\ - антиэрмитовы генераторы калибровочной
группы. Поскольку Ti антиэрмитовы, суперполе V1 мнимое, а условие А =
А1Т1 == - А+ приводит к следующему свойству кирального параметра: А'+ =
А'. Заметим, что в абелевом случае Ti - i и V = V'i, что приводит, как и
должно быть для абелевой калибровочной группы, к выражению
(15.15).
Хотя в неабелевом случае это преобразование сложнее, тем не
менее используем киральный параметр, чтобы выбором калибровки исключить
компоненты (С'; ?'а, Н', К1) суперполя V. Калибровочно-ковариантная
напряженность поля имеет вид
Wa - D2 (e~vDAev). (15.22)
При калибровочном преобразовании она изменяется следующим образом:
W'A - eAWAe~A (15.23)
и является киральной, т. е.
DbWA = 0. (15.24)
Условие действительности имеет более сложный вид:
{0м, Гл} = {0'А WA}, (15.25)
где мы определим специально для этого случая производные, со штрихом
0>м = e~vDAev = Da+ (e~vDAev), 3)'A=evD'Ae~v=^DA + (e+vDAe~v).
Выражение для действия
^ям_J d4vd20Tr WaWa (15.26)
можно переписать в виде
ЛЯМ = _ 16gi2(G) S dijcdiQ Tr ^e~V?>AeV) & (e~vDAev)} . (15.27)
Эти результаты могли быть легко получены методом калибровочного
расширения. Короче говоря, в абелевом случае мы отождествляем ХА с (0 =
0)-компонентой суперполя WA. Поскольку супервариация поля ХА включает ев,
но не е^, можно заключить, что
DbWA = 0. (15.28)
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 137
Поле D является (0 = 0)-компонентой суперполя - 2DAWA\ поскольку оно
действительно, находим
DaWa - Da Wa = 0. (15.29)
Дальнейший анализ показывает, что единственное другое независимое
компонентное поле в х-пространстве, содержащееся в суперполе V, имеет вид
Fab = D(AWb) |е=о. (15.30)
Данное поле и его комплексное сопряжение FАв можно отождествить с Fmn.
Приведенные выше связи (15.28) и (15.29) означают, что Fmn удовлетворяет
тождеству Бьянки
DlrFmn] = 0. (15.31)
Киральный мультиплет фа преобразуется по представлению/? калибровочной
группы следующим образом:
Фа^ф'а = (е-Чаьфь, (15.32)
где Ааь = А'{Т,)аь, а (Г,)аь - генераторы калибровочной группы в
представлении R. Условие киральности поля фа, а именно DАфа - 0, все еще
ковариантно, так как это следует из тождества DaA = 0. Калибровочно-
инвариантное суперсимметричное действие, обобщающее действие Весса -
Зумино, имеет вид
\^хс!Ща(еу)аьфь, (15.33)
где (V)ab = V'{Ti)ab. Взаимодействие
S/ \
d4xd2Q \^4f - Ф°ФЬ + -fp- фафьф° + эрмит. сопр.) (15.34) также
калибровочно-инвариантно, если выполняются равенство 0 = debc СГУ а +
daec (Tlr b + dabe (Т1У с (15.35)
и аналогичное равенство для слагаемого, пропорционального Шаь¦ Выражение
этих функционалов действий в терминах компонентных полей дано в гл. 11.
Наконец, получим в замкнутой форме вариацию суперполя V при калибровочном
преобразовании [54]. Этот результат необходим для нахождения детерминанта
Фаддеева - Попова. Из уравнения [ev, V] = 0 и калибровочного
преобразования (15.21) следует равенство
6Vev+Vexeve~x - ev 6V- eIeve~xV = 0. (15.36)
138 ГЛАВА 15
Умножая его слева и справа на e~F/2, находим evi4Ve-vl2 - e-vl26Vevl2-
e~vl2[V, A] ev>2 + еу/2 [V, А]е~^2 = 0
(15.37)
в низшем порядке по Л и Л.
Введем обозначение
VAX = [V,X], V2 AX = [V,[V, X]} (15.38)
и примем определение 1 ЛХ = Х. Следовательно, получаем равенства
evXe~v - ev А X, (15.39)
/ (V) А (g (V) А X) = (/ (У) g (У) А X). (15.40)
Равенство (15.37), записанное в этих обозначениях, принимает вид
2 (sh-|-) Л 6У = (ch А У Л (А - Л) - (sh Л
ЛУЛ(Л+Л), (15.41)
а также
6У = Л { - (Л + Л)+ cth-?- Л (Л - А)} =
= Л-Л-у[У, Л+Л] + 0(У2). (15.42)
На этом заканчивается вывод формул, которые будут использованы ниже.
15.3. Геометрический подход к [N = 1)-суперсимметричной теории Янга -
Миллса
Интересный альтернативный подход к суперсимметричной теории Янга - Миллса
найден в результате копирования обычных методов построения теории Янга -
Миллса [55]. Введем суперсвязность Ап\ которая преобразуется следующим
образом:
(<ЭЯ + Ап)' = е+к (дп + Ая) е~\ (15.43)
где А = K'Ti и Ая = TjA'причем матрицы 7\ представляют собой генераторы
группы G в любом представлении. В равенстве (15.43) и в последующих
формулах производная <Эл действует на поля, стоящие справа, т. е.
после множителя е~к.
Поэтому правую часть можно переписать в виде
(е+к(дл + Ап) е~к) + <ЭЯ,
где в первом слагаемом <ЭЯ действует только в пределах скобок. Заметим,
