Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
что величины дп, Ая и А = А'Тг антиэрмитовы и, еле-
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 139
довательно, Ал' и К' действительны. Ковариантные производные определены
как
Вл = дл + Ал1(Т{)аь, (15.44)
где теперь Г, -матрицы, действующие на соответствующие
поля. В частности, если имеем суперполе i])a, которое преобразуется
следующим образом:
ф/а = (е")\ЧЛ (15.45)
то Djxips - калибровочно-ковариантное суперполе. Мы определим
напряженности полей суперсимметричной теории Янга - Миллса с помощью
соотношения
[Djv, D^} = TNMRDR-\~ FNm1T{, (15.46)
где Djv = Ецп1)л, a TNmr- тензор кручения в плоском пространстве, т. е.
ТNmr равен нулю, за исключением компонент ТА$п = = -2i(on)A6.
Для напряженностей находим
Fnm - ^nm^i ~ "Ь DnAm ( 1)^м DmAn + [An, Am} ТымкА^.
(15.47)
Так же как в случае теории Янга - Миллса, имеем тождества Бьянки, которые
следуют из тождества
[Dm. [D", Dr}}-[[Dm, D*}, Dr) + (-1)*" [[Dm, D*}, Da,}=0.
(15.48)
Наконец, получаем
I NMR = [- (-l)("+\>? + TmnsFsr] -
- (-1 )NR {R->N, N-+R, М-уМ в первом слагаемом) -
-(- 1)^+/г)Л1(Л1 ->М, R->M в первом слагаемом). (15.49)
Рассмотрим теперь, к каким следствиям приводит наличие киральных
суперполей в подходе, где имеется суперсимметрич-ная теория Янга -
Миллса. Первоначальное условие кираль-ности DA<t> = 0 должно быть
изменено для того, чтобы оно стало калибровочно-ковариантным. Единственно
возможное обобщение имеет вид DАф = 0. Но такая связь ведет к соотношению
{Da. Db} <j> = FABlT$ - 0, (15.50)
и, следовательно, поскольку при 0 = 0 ф произвольно, мы вынуждены
заключить, что выполняются равенства
F ав~(r)> (15.51)
140
ГЛАВА 15
С этими ограничениями совместны также все другие представления
суперсимметрии при наличии полей Янга - Миллса. Такие связи часто
называют связями, "сохраняющими представление" [56, 57].
Мы будем пользоваться также термином "стандартная связь" [56,57].
Рассмотрев напряженность поля
fab ^ + daab + dbAa + {Аа> Ав} + 2г (Олй Ап> (15.52)
найдем, что поле Ап, как связность, излишне, поскольку оно преобразуется
точно так же, как первые три члена в FA^, взятые с обратным знаком.
Полагая FАЁ = 0, выразим Ап через Аа и Аё:
Ап=т(+ °лАв +D6Aa- {Лл, А&}) (anfB . (15.53)
Это напоминает переход от формализма первого порядка к формализму второго
порядка в общей теории относительности.
Подводя итоги, запишем связи в виде
Рав = Рав=Рав=Ъ- (15-54)
В рамках этого подхода имеются теперь два способа дальнейших вычислений.
Мы могли бы просто разрешить связи (15.54), или "решить тождества
Бьянки". Воспользуемся сначала вторым способом. Хотя тождества Бьянки -
всего лишь тождества, но коль скоро мы требуем выполнения приведенных
выше связей, тождества становятся нетривиальными и могут быть
использованы для получения следствий из этих связей. Наилучший подход к
решению тождеств Бьянки состоит в оценке входящих в них величин в порядке
возрастания их размерности. Из определения напряженностей полей Янга -
Миллса найдем их размерности
[/4] = 1, [Fna ]=!-. [Fnm\= 2. (15.55)
Единственное нетривиальное тождество Бьянки, снабженное только
фермионными индексами, имеет вид
IABC=V = TAbnFnC + Tc6"FnA. (15.56)
Следовательно, приходим к тождеству
Fавс ^сва = (15.57)
где РАбс=(ап)АЁРпС. По существу имеем
РABC = - Y bacF°6d = - { SACW6 (15.58)
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИЙ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 141
Комплексно-сопряженное выражение имеет вид
Fвеб = 2 e? i> ^в ' а ~ "^"[Т ес.й ^в>
где
РВсЬ=^П)всРпЬ- (15.59)
Заметим, что
{РлпУ = -?*"> (Wa)* = + Wa, (15.60)
поскольку
[ЮлвГ = (Олв = (Олл-
Обратим внимание на то, что WA(W^')-ненулевая напряженность поля
наинизшей размерности.
Рассмотрим далее тождество Бьянки
I АВп - ^А^Вп + ^bF Ап - 0. (15.61)
из которого следует
Daebc^c+Db^c=°- (15-62)
Умножая последнее тождество на гвс, находим
D^=0 (15.63)
и комплексно-сопряженное уравнение
= (15.64)
Из тождества
1л6п = + TBAmPmn + "АРвЛТвАтРтп + DbFAn = 0 (15.65)
следует результат
~ZCBbAWC + &CAl>BW с + IQFabcc = °> (15.66)
где FAbc с ~ (°П)ав (am^ccFnm- Свертывание по индексам СВ и СА приводит к
уравнению
- DaWa + DAWA = 0. (15.67)
Но свертывая только по СВ, получаем D(AWC) = -B(anm)AcFnm.
Соответствующее комплексно-сопряженное уравнение имеет вид
DiAWd)^8(anm)AcFnm- (15-68)
В действительности эти три уравнения полностью образуют тождество Бьянки,
поскольку симметризация FA^CC- по АС и ВС автоматически дает нулевой
результат.
142 ГЛАВА 15
Тождество Бьянки, содержащее /д тп" ПрИВОДИТ К СООТНО-шению
D= -{WVc. (15.69)
в котором спинорная производная Fnm просто выражается через
пространственно-временную производную Wд. Аналогичный результат можно
получить для комплексно-сопряженных величин. На самом деле (15.69)
является следствием соотношений (15.67), (15.63) и (15.64), и в этом
смысле излишне было решать тождество Бьянки 1Атп = 0.
Остающееся тождество Бьянки 1птг = 0 - обычное тождество такого рода,
выражающее тот факт, что Fnm - ротор поля Ап:
Fnm - + дпАт - дтАп + [Ап, Ат]. (15.70)
