Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Подводя итоги, заметим, что ненулевые напряженности поля Faii, Fnm и
комплексно-сопряженные им величины можно выразить через одно суперполе
Wa, его комплексно-сопряженное поле Wх и их спинорные производные.
Суперполе Wa удовлетворяет условиям
= 0 = (15-71)
D*rA = 0. (15.72)
Как мы увидим ниже, другие результаты анализа тождеств Бьянки, т. е.
соотношений (15.69) и (15.70), являются следствиями таких условий.
Из этих формул можно получать состав компонентных полей суперсимметричной
теории Янга - Миллса. Независимые компоненты кирального суперполя WA(W\)
в х-пространстве при 0 = 0 являются компонентами выражений
WA, D(BWa), -yD bWb, D2Wa, (15.73)
которые обозначим соответственно
ЬА. Рва, D, 1А. (15.74)
Но условие (15.72) означает, что поле D действительно и
Dc{PbWb) = -\bcbD2Wb = ~~D2Wc =
= _ОсОйГй=-2гЕ>сйГй. (15.75) Следовательно, при 0 = 0 имеем
Iе = -и{Ъ)св%ё. (15.76)
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 143
Дальнейшие вычисления показывают, что напряженность Fmn удовлетворяет
обычному тождеству Бьянки и поэтому может быть представлена при 0 = 0 в
виде (15.70), где Fmn связана с напряженностями FAB и Fсоотношениями
= FAi= (15.77)
Таким образом, (N = 1)-суперсимметричная теория Янга - Миллса содержит
поля Ха, и D. Их преобразования суперсимметрии можно найти с помощью
обычных рассуждений из приведенных выше соотношений; например,
6ЪВ = sADAWB |е-о = D&B + y (атп)вА Ртпгл = DsB -f Fabba. (15.78)
Обратимся теперь к альтернативному подходу, а именно просто разрешим
связи. Это значит, что надо решить уравнения
?ав = РАв=°- (15-79>
Наиболее общие решения имеют вид
D A = e~QDAeQ, D А = ё*0Ае+*, (15.80)
где Q = Q!7\ и Q=Q'7V В этих выражениях производные действуют направо,
таким образом,
{Da, DB} = {e-QDAe°, e~*DBe*} = {DA, DB}eQ=- 0;
для F^? имеется аналогичное соотношение. Это не чисто калибровочное
условие, поскольку (?2')*=^=?2г. Поэтому мы выразили Ав и Afc через Q и
Q. Для того чтобы воспроизвести трансформационные свойства полей Ал,
потребуем выполнения равенства
e°'=eQe~K (или eQ'~eile~K). (15.81)
Можно также найти преобразование поля Q, при котором остаются неизменными
ковариантные производные, а именно
eQ' = eA-eQ (или e^' = e+AeQ), (15.82)
где DaA = 0. Следует ожидать появления такой дополнительной калибровочной
инвариантности всякий раз, когда разрешается любая ковариантная связь.
При инфинитезимальном преобразовании имеем
6Q = - К-+-Л. (15.83)
Можно использовать действительную величину К\ чтобы вы-
бором калибровки исключить действительную часть ?2'. Это
144
ГЛАВА 15
легче всего сделать, определив /(-инвариантную действительную величину V
с помощью соотношения
ev==^e-am (1.5.84)
Если мы выбираем К} и калибровку так, что при этом поля
Qi
действительные, то V = 2Q (Q = - Q). Соответствующее А-пре-
образование поля V имеет вид
ev' = exeve~A, (15.85)
или для инфинитезимального преобразования
61/= (A- А) + 0(V, А, А). (15.86)
К этому результату можно также прийти, устраняя с помощью калибровки
действительную часть Q и производя соответствующее компенсирующее
преобразование величины К для каждого преобразования А (А), с тем чтобы
сохранить выбранную калибровку.
Если компонентные поля суперполя V обозначим (С, ?, Я, К, АцД, D), то,
как обсуждалось в гл. 11, можно использовать киральное поле А для
устранения с помощью выбора калибровки компонент С, ?, Я и К, сохраняя
калибровочное преобразование поля Ад. Выбрав таким образом калибровку
Весса - Зумино, необходимо сделать соответствующее компенсирующее
преобразование, чтобы не нарушить это калибровочное условие.
Следовательно, у нас остаются снова компонентные поля в х-про-странстве
Ay., X и D.
Часто оказывается полезно переопределить киральные поля и ковариантные
производные. Если имеется киральное поле ф,
ВАф = 0, (15.87)
то можно определить новое поле фо = e~Q ф, которое теперь удовлетворяет
условию
О0л Фо - 0, (15.88)
где DoA-DA, и преобразуется так же, как поле ф: ф'0 = = е1Аф0. Для
антикиральных полей выполняются преобразования 'ф = е-о,ф0. Такие поля
удовлетворяют условию
- (15.89)
где О0д = e~vDAev, и преобразуются следующим образом: г|/0 = - еАф0.
Важно заметить, что, как и в случае кирального базиса, преобразования
спинорных производных не унитарны и, еле-
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ С ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 145
довательно, не обладают свойствами действительности. Но эти новые поля,
которые часто оказываются заданными в кираль-ном представлении,
бывают полезны при вычислениях или построении действий. Новые
производные согласуются с определением _
Doiv = e+"DA,e-". (15.90)
Напряженность кирального поля можно определить следующим образом:
[Dow* 0(щ} = Tnm^D0? -f- Fonm- (15.91)
Ясно, что _
F<wM = e+[rFNMe-9-, (15.92)
поэтому связи принимают вид
F0ab = Foa^=FoU=0, (15.93)
а суперполе -
W0A = e+9WAe~9. (15.94)
Вычисления поля 1^0л в терминах суперполя V производится довольно просто:
{Вол- (r)ол} "{Ра ^ол' °а} =
= rti"D"+{+DiAu + 2l(a")Ai Л.}, (15.95)
