Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
вид:
6г = [(е ADA + в^А)ф]^а = е%, (14.55)
= [(bbDb + еBD& ) йАф]в=0 = feA - 2i (o")Ah евд^, (14.56)
бf = [(8*DB + гвйё) (- 1 DaD^)\=q = - 2ie* KW V,
(14.57)
где использован тот факт, что DaDbDc = 0.
Эти правила преобразований в 4-компонентных обозначениях принимают вид
6Л = 8Х, бВ = Иу5%, бх = [F + iy5G + д (А + iy5B)] е, (14.58)
б F - ed%, 6G = iey5d%, (14.59)
116
ГЛАВА 14
ГД6 А
f = F + iG, z - - у (Л + iB), х<" = ( Х ). (14.60)
Читатель узнает в этих выражениях представление, которое используется для
построения модели Весса - Зумино; мы будем называть такой набор полей
киральным мультиплетом или муль-типлетом Весса-'Зумино.
Выбрав удобный базис, можно найти состав полей указанного мультиплета, не
изменяющийся после наложения связи = 0.
Рассмотрим новые координаты [67]
у* = х* - юлюлйе?, ?л = ел, ?л = ел, (14.61)
тогда
+ = JL + Mfan) ,
<эел <эел дъь <эел ду* <э?л лл аг/^1 ' (14,62)
в.
<Э0Л <Э?Л АВ ду* ' ду11 дх" '
Используя формулы приложения, можно убедиться, что г/и не является
действительной координатой. В новых координатах связь D^<j> = 0 принимает
вид
г^гФ(уЛА, 16) = 0. (14.63)
д?,в
Это свидетельствует о независимости ф от ?л, поэтому суперполе должно
быть записано в виде
ф=г(у) + ?лхл (у) + у tAU (У) =
= ехр { - 0Л (a^^eVj { г (х) + 6аХа (х) + у ^Af W } • (14.64)
Последнее равенство получено после замены переменной по
формуле (14.61) и разложения в ряд Тейлора, т. е. f(x-\-a) = = (ехр
ад<?ц)/(х).
Добавочная связь
0Аф = 0 (14.65)
в дополнение к связи (14.53) (последнее уравнение фактически следует из
(14.53) после комплексного сопряжения, если ф - действительное поле)
приводит к соотношению
{Da, О6}ф = -2Цо")АЬд№ф = 0
СУПЕРПРОСТРАНСТВО
117
ИЛИ
д"ф = 0. (14.66)
Это уравнение означает, что все компонентные поля суперполя ф постоянные.
Из законов преобразования компонент следует, что единственное подходящее
суперполе содержит поля
С = const, %a = f = k = All = la = D = 0. (14.67)
Следующая после условия 0Аф = 0 связь минимальной размерности, которую мы
накладываем на ф, имеет вид
DaD^ = 0. (14.68)
Но в этом случае можно также потребовать, чтобы ф было действительно, и
поэтому DaD^ = 0. В результате получим компоненты суперполя:
ф |0=о = 1в=о = 5СЛ, ОаФ\в=о = %А'
, (14.69)
~2 V^A' ^в] Ф 1е=о = ЛАв = Юла •
Очевидно, что спинорные производные высших порядков приводят лишь к
компонентным полям в х-пространстве, которые являются пространственно-
временными производными приведенных выше полей. Законы преобразования
имеют вид
6С = еа%а + ел%А, дхА = - i (а%6 е^С + Ал6 гв,
6Лав = (%)Аб d>1U + 1Ч (ЛЛ*С _ i&A Wcbtf ~ (1470)
- гев (<т^вв д\А.
Подействовав оператором DADB на уравнение (14.68), получим
(^ = 0. (14.71)
В 4-компонентных обозначениях эти законы преобразования записываются в
терминах полей (14.30) в следующем виде:
6С = геу5?, = (- 1ЪдС + А) е, == - (14.72)
Этот мультиплет называют линейным; в действительности он приводит к
альтернативной формулировке модели Весса - Зумино [47].
Другую связь размерности 1
i[DA, й6]ф = 0 (14.73)
118
ГЛАВА 14
нельзя использовать для определения нового суперполя. Оказывается, что
для выбора = 0 в (14.72) и (14.29) требуется постоянство суперполя (С =
const, остальные компоненты равны нулю).
Выясним, можно ли потребовать, чтобы суперполе ф, определенное выражением
(14.25), удовлетворяло связи размерности 3/2, т. е.
DhDAD$ = 0. (14.74)
Такая связь приводит к равенству нулю компоненты %' в (14.30).
Соответствующий набор компонент суперполя определяется формулами (14.29)
и имеет следующий вид:
(С, ?, Я, К, %' - 0, D' = 0), (14.75)
причем - <9И1Х = 0, т. е. Л1Х = <91ХЛ. Конечно, это не что
иное, как мультиплет Весса - Зумино.
Наконец, можно рассмотреть мультиплет, который начинается с поля Для
этого рассмотрим не связи, а частный вид суперполя
Wa = DaD^, (14.76)
где суперполе ф действительное и
D2 = DkDk.
Такой мультиплет включает только поля
(fnv = - Д,Лц, Я/, D') (14.77)
и не содержит мультиплета (14.75). Мы назовем его мультипле-том Янга -
Миллса.
Все предыдущие рассуждения можно также повторить для суперполей,
снабженных лоренцевыми индексами. Но эти индексы не вносят существенных
изменений, поскольку они преобразуются с помощью величин, которые не
являются функциями на суперпространстве.
Интегрирование в суперпространстве и б-функции. Прежде чем построить
инвариантное интегрирование, необходимо решить, как интегрировать по
антикоммутирующим переменным. В случае одной антикоммутирующей переменной
0 мы определим [52]
jjd0 = O, Jrf00=l. (14.78)
Пределы интегрирования не указаны, но предполагается, что они не
существенны. Это единственное возможное определение, инвариантное
относительно сдвига 0-"-0 + в. Поэтому интегри-
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 119
рование идентично дифференцированию. Для произвольной функции / (0) = a -
f 06 имеем
\dQf(Q) = b=-^-f(Q). (14.79)
Это довольно примитивное определение интегрирования, по-видимому, не
ведет к топологически интересным результатам.
