Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому величина, стоящая под знаком J, должна в любой момент быть равной
нулю; таким образом, мы получим неопределенное уравнение
которое -представляет собою не что иное, как общую формулу динамики (отд.
II, п. 5) и которое, следовательно, подобно ей даст все уравнения,
необходимые для решения настоящей задачи.
41. Вместо координат х, у, г можно также воспользоваться любыми другими
неопределенными величинами, и тогда все сведется к тому, чтобы элемент
дуги ds выразить в функции этих неопределенных величин. Так, например,
если взять радиус, или прямолинейное расстояние от начал?
Jdx
-jfd(Ьх преобразуется в другую, ей эквивалентную :
Аналогично найдем
и
Следовательно,
считать постоянной величиной, примет следующий вид |*UJ:
-jdtSm(dxd^- +<5yd-~-+ .
Sm(p<5p + Qfy + P<5r + ...+ ^бх+ -g-"5y + -g-"5z) = o
ДВА ОТРЫВКА ИЗ ПЕРВОГО ТОМА "АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ"
165
координат, которое мы назовем д, и два угла, из которых один, ip, пусть
обозначает угол, образуемый упомянутым радиусом с плоскостью ху, а
другой, <р, - угол, образуемый проекцией того же радиуса на указанную
плоскость с осью х, то
z - p sin ip, у = р cos v* sin <р, х = р cosy" cos у,
а отсюда мы получим
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - dp2 + p2 (dip2 + cos2 y> d<p2);
это выражение можно было бы вывести и непосредственно, пользуясь
геометрическим методом: Продифференцировав в смысле 6 и написав dd вместо
dd, мы получим
ds dds = dp d dp + p (dip2 + cos2 ip d<p2) dp +
+ p2 (dip ddip - sin ip cos ip d<p2 dip + cos2 ipdfd dtp), .. ds
откуда, разделив на dt = - и проинтегрировав, получим
judds = jdt[^^ + p{^- + cos2ip Д2
+11dt (р2 lit~ р2sinrPC0Sip^rdip + Р2cos2ip^.
Двойной символ dd под знаком J можно устранить путем интегрирования по
частям. Сначала отбросим члены, содержащие вариации вне знака J, так как
эти вариации, которые в данном случае должны относиться к пределам
интеграла, становятся равными нулю, благодаря принятому допущению, что
начальные и конечные точки кривых, описываемых телами, наперед заданы и
являются неизменными. В результате мы получим следующее преобразованное
выражение:
dp2
и+
- jduds= - (dt j(-^- - - pcosay
t!)'
d<p2
Up
+
о • Wfr .
p2 sm ip cos ip +
dt
d (cos2 y> I
н jt-'-M •
Таким образом, уравнение максимума или минимума примет следующий вид:
j dt S т jp dp -j- Q dq + R dr - p
, 4'Э
dip2
~dP
p COS'* ip
pc smy>cosy>
dt2
dt
dip +
d(cos2 ip
dt
dcp\ = 0.
Если приравнять нулю величину, стоящую под знаком J, мы получим
неопределенное уравнение, аналогичное уравнению, приведенному в
предыдущем пункте, которое, однако, вместо вариаций бх, dy, dz будет
содержать вариации dg, dip, d<p; отсюда можно вывести уравнения,
необходимые для решения поставленной задачи, если сначала все вариации
свести к возможно
166
Ж. ЛАГРАНЖ
меньшему их числу и затем отдельно приравнять нулю все члены, в состав
которых входит каждая из оставшихся вариаций.
Если воспользоваться другими неопределенными величинами, то мы получим
иные формулы, но можно быть уверенным, что в каждом отдельном случае
всегда можно получить наиболее простые формулы, вытекающие из природы
этих неопределенных величин. Смотри Memoires de l'Academie de Turin*), т.
II, где этот метод был применен для разрешения различных вопросов
механики [tt].
42. Впрочем, так как ds = и dt, то величина
Sm^uds,
которая представляет собою максимум или минимум, может быть приведена к
следующему виду : Sm J u2dt или J dtSmu2, где Smu2 выражает живую силу
всей системы в любое мгновение. Таким образом, рассматриваемый принцип
сводится, собственно, к тому, что сумма живых сил всех тел от момента,
когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят
в другие заданные точки, является максимумом или минимумом.
Следовательно, его можно было бы с большим основанием назвать принципом
наибольшей или наименьшей живой силы; эта формулировка имела бы то
преимущество, что она была бы общей, как для движения, так и для
равновесия; в самом деле, в отд. III "Статики" (п. 22) мы видели, что при
прохождении положения равновесия живая сила системы всегда бывает
наибольшей или наименьшей.
*) См, также интересную статью О. Родригеса в Correspondance sur ГЁсо1е
Polytech -nique, т. III, стр. 159. (Прим. Бертрана.) [См. стр. 117 и 167
настоящей книги. - Прим. ред.]
О. РОДРИГЕС
О ПРИМЕНЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ К СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ В НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ [42]
Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для систем
масс, находящейся под действием притягивающих или отталкивающих сил - при
соблюдении принципа живых сил - сумма существующих мгновенно живых сил
всех масс при переходе из одного заданного в другое, также заданное
положение, имеет максимум или минимум.
Этот принцип в соединении с принципом живых сил может служить для
составления уравнений движения системы в каждом отдельном случае ; но,
как мне кажется, никто еще не подумал о том, чтобы уравнение, выражающее
