Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
закон их отталкивания, являясь отрицательной в случае притяжения.
Функция, обозначенная здесь U, может быть названа силовой функцией
системы; она в высшей степени полезна в теоретической механике, в которую
она была введена Лагранжем [66] и дает следующие изящные формы
дифференциальных уравнений движения, входящих в формулу (1):
ni! х" = Щ У'1 =
mlZl =
6U 6U ди
6хг ' Щ х" = <5х2 ' .., тпх"п = дхп
ьи ьи ьи
6ух ' щ yl = <5У2 ' •' ¦ тпу"п = Ьуп
ьи 6U ди
Ьгх ' т2 4 = Sza ' • .., mnz"n = Ьгп
(3)
причем вторые члены этих уравнений представляют собой частные производные
первого порядка функции U [67]. Однако, несмотря на изящество и простоту
этого хорошо известного способа изложения главной задачи динамики,
трудность решения этой задачи, или хотя бы выражения ее решения, до сих
пор казалась непреодолимой, так что до сих пор для этих общих уравнений
системы, состоящей из п точек, было найдено только семь промежуточных
интегралов или интегралов первого порядка с таким же числом произвольных
постоянных вместо 3п промежуточных и 3п конечных интегралов, включающих
бп постоянных. Кроме того, не найден такой интеграл относительно
движения, который не нужно было бы проинтегрировать вновь. Не найдено
также общее решение, определяющее (как это следует требовать от полного
решения) 3п отношений между п массами ш1, ..., тп, 3п переменными
координатами xlt yv хп, уп, zn, переменным
временем t и б" начальными данными задачи, а именно начальными
координатами а1, Ь1У с1У..., ап, Ъп, сп и их начальными скоростями а'1У
Ь'ъ с'г,..., а'п, Ь'п, с'; величины, названные здесь начальными, - это
те, которые соответствуют произвольному началу времени. Однако (как будет
видно далее) эти давно искомые зависимости можно выразить при помощи
частных производных новой центральной или главной функции, к отысканию и
использованию которой сводится трудность математической динамики.
_ 2. Если мы для краткости напишем:
Т =±-2m(x'2 + y2 + z'2); (4)
ь. ^
причем 2 Т означает, как в "Mecanique Analytique", полную живую силу [68]
системы (х', у', г' по аналогии с нашим предыдущим обозначением
представляют собой прямоугольные компоненты скорости точки т, или первые
производные ее координат, взятые по времени); удобное и хорошо известное
сочетание дифференциальных уравнений движения, получаемое путем замены
вариаций координат их дифференциалами в формуле (1), может быть выражено
следующим образом:
dT = dU, (5)
что дает по интегрировании знаменитый закон живой силы :
T = U + H. (6>
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
179
В этом выражении, которое представляет собой один из семи упомянутых выше
известных интегралов, величина Н не зависит от времени и не меняется при
переходе точек системы от одной группы положений к другой. Например,
исходное уравнение, соответствующее начальному моменту времени, может
быть написано следующим образом :
Однако величина Н может получить любое произвольное приращение, когда мы
мысленно переходим от системы, движущейся по одному пути, к той же
системе, движущейся по другому пути, при тех же динамических соотношениях
между ускорениями и положениями ее точек, но при различных начальных
данных; полученное таким образом приращение Н, очевидно, связано с
аналогичными приращениями функций Т и V при помощи отношения
а это в случае бесконечно малых изменений удобно записать следующим
образом:
dT = dU + dH. (9)
Это последнее отношение, будучи помножено на dt и проинтегрировано,
приводит к важному результату, ибо посредством (4) и (1) оно принимает
следующий вид:
что дает согласно принципам вариационного исчисления
<5 V = v tn (х' дх + у' ду + z' <5z) - 2'm (а' да + b'db + с' <5с) + tdH,
(А) если мы обозначим через V интеграл
а именно, накопленную живую силу, часто называемую действием системы от
ее начального до конечного положения.
Если же мы будем рассматривать (и, как легко заметить, мы имеем на это
право) действие V как функцию начальных и конечных координат и величины
Н, то мы получим посредством (А) следующие группы уравнений : во-первых,
т0=и0 + н
(7)
АТ = AU + АН
(8)
[ 2'm (dx ¦ дх' + dy ¦ ду' + dz • dz') = f 2, m (dx' dx +
+ dy' • dy + dz' ¦ dz) + j dH dt, (10)
V - J m (x' dx + y' dy + z' dz) - J2T dt
(B)
о
(C)
во-вторых,
12*
180
У. ГАМИЛЬТОН
и, наконец, уравнение,
т = *- <Е>
Таким образом, если бы эта функция V была известна, оставалось бы только
исключить Я из Зп + 1 уравнений (С) и (Е) для того, чтобы получить все 3п
промежуточных интегралов или из (D) и (Е) для того, чтобы получить все 3п
конечных интегралов дифференциальных уравнений движения, т. е. получить
искомые 3п зависимости между 3п переменными координатами и временем,
включающие также массы и упомянутые выше бп начальных данных. Открытие
этих зависимостей (как мы уже говорили) представляло бы собой общее
решение 'общей задачи динамики. Таким образом, мы по крайней мере свели
общую задачу к отысканию и дифференцированию единственной функции V,
