Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
самого слоя, который приблизительно перпендикулярен к
*) См. Приложение в конце книги "Essai sur la resistance des Fluides",
цитированной выше, и третью часть "Recherches sur le systeme du Monde",
стр. 226 и след.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
151
радиусу. Обозначим первую силу Я, а вторую Q. По принципу знаменитого
Автора, о котором мы только что говорили, надо будет горизонтальную силу
Q умножить на Ar dz, где А - плотность жидкости, которую мы предполагаем
функцией только г, затем продифференцировать ее по г; вертикальную силу Я
надо умножить на A (dr + a^rdr) и затем продифференцировать полученное
выражение по z, после чего, приравняв полученные дифференциалы, получим
уравнение
dArQ
ч[АП+АаП^]
drdz = -------------------dzdr,
dr dz
или
d~rO+ df-A^ '------------
dr ' dr dz
Проделав вычисления, найдем, что величины Я, Q, Z всегда будут таковы,
что
"{п+апг)
drO
dz dr
В итоге останется только уравнение
dA г, г,
rQ = О,
dr '
которое дает Q = 0, т. е. горизонтальная сила равна нулю, и
следовательно, каждый слой будет слоем уровня.
XLVI. Следствие IV. Теперь я беру уравнение (f). Природа членов, из
которых состоит это уравнение, свидетельствует о том, что оно относится
исключительно к нижней поверхности жидкости. Однако если предположить,
что совсем нет стенок, поддерживающих жидкость, то значения д'х, б'у и
d'z будут совершенно произвольными, и уравнение (f) можно будет
проверить, только положив в общем Т = 0, или приравняв нулю полное
значение интеграла S AxD (d^r + П dt) .
Пусть уравнения (е) будут отнесены к нижней поверхности жидкости;
подставим'х, 'у, 'z вместо х, у, z и предположим интеграл S dxD^d-г +
IJdt)
равным нулю, что приведет к U = Т, тогда получим
= Ща-QL + 'Яdt), = 'D (d dJ +w),
и
dT ,, , dT ,, , dr ,,
dT = d'x + - - d'y 4- d'z = d'x dy 71 dz
= 'D \(d~ + 'Я A] d'x + (d^|- + 'Qdt) d'y + (d~- + 'W dt) d'z] .
Это - значение дифференциала T, взятое на поверхности, о
которой мы
говорили : итак, раз величина Т обычно равна нулю, то ее
дифференциал
также будет равен нулю, и следовательно, получим уравнение
[d^f + 'Я a) d'x + (d + 'Qdt) d'y + [d^- + "Pdt) d'z = 0,
которое будет таким, какое должна иметь внешняя поверхность жидкости.
152
Ж. ЛАГРАНЖ
Подобное уравнение может быть найдено для верхней поверхности жидг кости;
ибо, обозначив через х', у, г' координаты этой поверхности и через U' -
значение U, когда х, у, z становятся равными х', у', z', будем иметь в
общем случае, как это уже было замечено в п. XL, U' = 0. Следовательно,
также
dH'=^dx' + -^dy'+-^dz' = 0,
или
AM-dx = -Ddx(d^-+IIdt) ,
= -D(d-% + Qdt) , A^L=~D[d^ + Wdt)',
тогда
dU'=~w [(d~§- + Я'dt) dx' + (d4f + Q> dt) W +
+ (d4T + W' dt) dz'} = 0 '
Следовательно, в общем, когда жидкость свободна со всех сторон, ее
внешняя поверхность должна быть определена уравнением
(d^+ndt) Ах + (d-J + Qdt) dy + (d^ + 'Fdt)dz = 0.
Предположим теперь, что жидкость поддерживается неподвижными стенками
какой-либо формы, уравнение которых
dz = mdx + ndy.
Если рассмотреть три выражения интегралов в уравнении (f), то видно, что
каждое содержит две интеграции: первое - по у и г, второе - по х и z и
третье - по х и у. Раз отношение трех переменных х, у, z задано
уравнением dz = т dx + п dy, то эти различные интегралы могут быть все
сведены к одному виду, т. е. могут быть взяты только по двум переменным х
и у. Для этого надо только в первое уравнение подставить вместо dz его
значение, выраженное через х, т dx, а во второе - его значение,
выраженное через у, "dy, после чего уравнение (f) примет вид
S2 dx dy (т дх + п ду + dz)T dt = 0.
Но раз
dz = mdx + пйу,
то мы должны иметь также
dz = тдх + пду ;
тогда уравнение будет тождеством и не даст никакого условия. Итак, все
сведется к тому, чтобы общие уравнения (Ь) и (е) удовлетворяли, после их
интегрирования, заданному уравнению
dz = т dx + a dy.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
153
XLVII. Примечание, Я не распространяюсь на эту тему, чтобы не перейти
границ, которые я поставил себе в настоящем Мемуаре. Впрочем, по формулам
и методам, данным в этой задаче и в предыдущих, можно будет найти решение
еще многих вопросов, касающихся жидкостей, как, например, найти движение
жидкости, заключенной в подвижном сосуде; колебания тела, плавающего в
жидкости; сопротивление жидкости, оказываемое телу, которое в ней
движется, и другие задачи такого же рода.
XLVIII. Задача X. Найти законы движения упругих жидкостей.
Р е ш е н и е. Согласно нашему общему принципу нужно, чтобы величина
Ssdm§ и ds была максимумом или минимумом; итак, рассуждая так же, как в
задаче VI, найдем уравнение
j S3 dm {иди dt - d ~ dx - d dy - d ~ &) = 0.
Но если никакая сила не действует между частицами dm, то мы получим в
соответствии с формулой (X) той же задачи
S3 dm и ди dt = S3 dm (П dt dx + Q dt dy -j- V dt dz).
Однако если предположить жидкость упругой, надо рассматривать каждую
