Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
внимания. Наоборот, всегда интересно и поучительно исследовать законы
природы с новой точки зрения, придем ли мы при этом к более простому
трактованию того или иного частного вопроса или достигнем лишь большей
точности формулировок.
Великий геометр, столь блестяще обосновавший науку о движении на принципе
виртуальных скоростей, не пренебрег возможностью улучшить и обобщить
принцип Мопертюи, касающийся .наименьшего действия, и, как известно, этот
принцип зачастую с большой пользой применяется геометрами*).
Подлинный характер принципа виртуальных скоростей заключается в том, что
он является, так сказать, общей формулой, решающей задачи статики, и что,
следовательно, он может занять место всякого другого принципа, но он не
носит на себе печати абсолютной очевидности, которая убеждает, при
ознакомлении с его изложением.
С этой точки прения основная теорема, которую я собираюсь изложить,
должна, мне кажется, получить предпочтение; сверх того, она обладает тем
преимуществом, что одновременно охватывает общие законы равновесия и
движения.
Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования
представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более
трудным, и от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш
ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в
силу которого вся статика представляется ему в качестве частного случая
динамики. И упомянутый нами геометр, по-видимому, оценил это обратное
*) Я позволю себе здесь сделать одно замечание [511. Я считаю
неудовлетворительным метод, примененный другим великим геометром
(Laplace, M6moires de l'Institut, 1809) для вывода закона преломлений
Гюйгенса из принципа наименьшего действия. Действительно, этот принцип по
существу предполагает наличие принципа живых сил, на основании которого
скорость точек в движении полностью определяется их положением, а
направление, по которому они движутся, не оказывает на нее никакого
влияния. Тем не менее, это влияние является исходной точкой рассуждений
упомянутого нами автора. Мне думается, что все усилия геометров объяснить
двойное преломление в рамках эмиссионной гипотезы останутся бесплодными
до тех пор, пока световые молекулы будут рассматриваться как простые
точки.
ОБ ОДНОМ НОВОМ ОБЩЕМ ПРИНЦИПЕ МЕХАНИКИ
171
движение, представляя в качестве преимущества принципа наименьшего
действия возможность охватить одновременно законы движения и законы
равновесия, если этот принцип рассматривать в качестве принципа
наибольшей или наименьшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль
является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях
минимум имеет место при совершенно различных условиях.
Новый принцип заключается в следующем:
Движение системы материальных точек, связанных между собою произвольным
образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в
наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением,
каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно
происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры
принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять
сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения
от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной.
Пусть т, т', т" - массы точек, а, а', а" - соответственно их положения,
Ь, Ь', Ь" - места, которые они заняли бы по истечении некоторого
бесконечно малого промежутка времени под влиянием действующих на них сил
и скорости, приобретенной ими к началу этого промежутка.
Приведенный выше принцип гласит, что положения с, с', с",..., которые эти
точки займут, являются (из всех положений, допускаемых наложенными на них
связями) такими, для которых сумма
т Ьс2 + т' Ь'с'2 + т" Ь"с"2 + ...
являйся минимумом.
Равновесие является частным случаем общего закона ; оно имеет место в том
случае, когда точки не имеют скорости, и сумма
т ¦ ab2 + т' а'Ь'2 + ...
является минимумом или, другими словами, когда сохранение системы в
состоянии покоя является более близким к свободному движению, которое
каждая точка стремится принять, из всех любых возможных перемещений.
Обоснование принципа может быть легко проведено следующим образом:
Сила, действующая на точку т в течение мгновения dt, очевидно, состоит из
: 1) силы, которая, присоединяясь к эффекту приобретенной скорости,
переместила бы точку из а в с, 2) силы, которая (если допустить, что
точка находится в покое в с) одновременно заставила бы ее переместиться
из с в Ь. Сказанное, очевидно, относится и к остальным точкам.
Согласно принципу Д'Аламбера*) точки т, т', т",... находились бы в
равновесии, если бы в положениях с, с', с",... они были под влиянием
вторых из указанных выше сил, действующих по направлениям cb, с'Ь',... и
пропорциональных этим малым отрезкам. Следовательно, согласно
*) Обычное выражение молчаливо предполагает, что каждое возможное
