Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
= (QU - RT) + (RS -PU)-^~ + (PT - QS).
Если подставить в эти два уравнения, так же как в найденное ранее для
"" п . n п т к . dx dx dx dy dy dy dz
L, Af, Ni p, Q, Ri S, T, U их значения ^ ^ у, ^ ,
~, T0 получим три общих уравнения, которые будут содержать
(I Y UZj
только переменные х, у, z с их производными по X, Y, Z и t, с помощью
которых можно будет определить положение каждой частицы жидкости в каждый
момент ее движения.
XLV. Схолия. Уравнения
d (Dll) _ d (DQ) d (Dll) __ d (DT) dy ~~ dx ' dz ~ dx '
приведенные нами в п. XLII для упрощения формул (h), имеют место, когда
все силы П, Q, W таковы, что их действия на частицы жидкости взаимно
уничтожаются, т. е. частицы жидкости, подвергнутые действию этих сил,
находятся в равновесии.
Действительно, если жидкость находится в покое, то скорости a, f}, у
равны нулю, и уравнения (h) сводятся к только что приведенным.
Впрочем, чтобы иметь возможность использовать уравнения, о которых иДет
речь, нет необходимости в том, чтобы величины D, П, Q, W были
исключительно функциями х, у, z, как это можно было бы заключить из
рассмотрения формы этих уравнений.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
149
Предположим, например, что величины D, П, Q, W заключают, кроме
переменных х, у, z, еще четвертую переменную s, представленную какбй-либо
линией; тогда ясно, что, каковы бы ни были природа и положение этой
линии, ее дифференциал ds всегда можно выразить таким способом:
A dx + В dy + С dz, а следовательно, полное значение выражения -d ,
которое является не чем иным, как коэффициентом при dy в дифференциале
DTI, будет
d (?>#) od(Dtf) .
dy ' ds , '
так же найдем
d (DH)
, ^ d (Dll)
"Г ^ А с- >
d z ds
d (DQ) , A d (DQ)
dx 1 ds
d(O'?) , . d (DW)
dx ; ds '
" d (?>#) d (DQ) d (D'P) _
для полных значении выражении • При, под-
становке этих значений в приведенные выше уравнения, они примут вид:
d (Dll) dy + в d (Dll) ds d (DQ) dx + A d (DQ) ds
d(Dtf) dz "" + С- d (DTI) ds d (D'P) dx + A d (D!?) ds
в этих уравнениях дифференциалы, зависящие от каждой из переменных х, у,
z, s, оказываются отделенными.
Я сделаю замечание относительно одного места замечательного "Трактата о
сопротивлении жидкостей" (п. 164).
Если плотность D постоянна, то уравнения
d (Dll) _ d (DQ) d (Dll) _ d (DP)
dy dx ' dz dx
при делении на D переходят в следующие :
. d-П^ _ dfl_ _dП _ d'P
dy dx ' dz dx '
которые содержат условия равновесия однородных жидкостей.
Предположим, что жидкость состоит из различных слоев, каждый из которых
имеет свою плотность. Найдем уравнение ее движения. Пусть координаты
каждого из слоев суть х, у, z, тогда согласно нашей гипотезе получим
Уравнения
дают
d D dx dy , . d D . dy + ^dz = = 0.
d (СЯ) d (DQ) d (ВЯ) d (D'P)
dy dx dz dx
TT d D , " d П r, dD , r , d Q
150
Ж. ЛАГРАНЖ
подставляя в верхнее уравнение значения , полученные из после-
дующих уравнений, и перегруппировав члены, получим d Df, . а , , У , Л ,
D ГГ d? <ш\ . , (AW d ДЬ1
т г + 77 ^ + тг dzJ + тг [(тг - тг) ^ + (тг - тг) * | = о,
или, умножив на~,
-ГТ<ЯdJ< + °^ + р*) + - Тг) + (тг --Ж-) = О.
Это уравнение представляет форму каждого слоя, имеющего плотность
отличную от плотности других слоев.
Если мы имеем
dЯ _ dQ dП _ dy
dy dx ' dz dx '
т. e. если силы П, Q, W по своей природе таковы, что они могут держать в
равновесии некоторую массу однородной жидкости, то предыдущее уравнение
сведется к уравнению
JD~W (П d* + Q йУ + W dz) = 0 '
что дает
П dx + Q dy + W dz = 0.
Это уравнение, как легко видеть, есть общее уравнение слоев уровней.
Отсюда следует, что в этом случае каждый слой необходимо будет иметь на
всем своем протяжении постоянную плотность.
Таков должен был быть порядок в различных частях земли, если бы она была
первоначально жидкостью, ибо легко доказать путем вычислений, и г. Клеро
показал в п. LIV своей "Theorie de la figure de la Terre" [32], что силы
П, Q, W, являющиеся результирующими всех притяжений, которые частицы
оказывают друг на друга, сами по себе подчинены условиям :
<ш = dfi ап _ dy
dy dx ' dz - dx
Однако великий Геометр предположил, что не всегда необходимо,
чтобы
поверхности разных слоев представляли собой поверхности уровня
и дал
другой принцип для определения формы этих поверхностей*). Но уравнения, к
которым приводит его принцип, в сущности те же самые, что и уравнения
слоев уровней.
Чтобы доказать это в общем виде, возьмем сфероид, состоящий из слоев
разных плотностей, радиус которого в общем случае равен г + aZ, где г -
величина постоянная в одном и том же слое, Z - некоторая функция гиг
(переменного угла для всех точек каждого слоя) и, наконец, а обозначает
малую постоянную величину. Пусть полное притяжение, оказываемое сфероидом
на каждую частицу какого-либо слоя, будет сведено к двум силам: одной-
вертикальной, т. е. перпендикулярной к слою, которая без ощутимой ошибки
может быть предположена равной силе тяжести, направленной к центру
сфероида, и другой - горизонтальной, т. е. ориентированной в направлении
