Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
принцип живых сил, применять просто как условное уравнение и применить
поэтому метод неопределенных множителей [43]. Этим путем, вводя
непосредственно независимые переменные системы, я пришел к тем общим
уравнениям движения, которые даны в "Аналитической механике" (ч. II, отд.
4) и к которым Лагранж пришел или посредством прямого преобразования
координат, или посредством применения общих уравнений вариационного
исчисления к этим преобразованиям.
Метод, которым пользуюсь я, представляет собой замечательный пример
применения метода неопределенных множителей в теории максимумов и
минимумов, а также пример того, как эти множители вполне определяются при
помощи граничных условий. Этот метод, кроме того, имеет то преимущество,
что обе функции Т и V здесь непосредственно вводятся в вычисления; из
них- первая представляет собой половину суммы живых сил, а другая -
интеграл суммы количеств движения.
Эта функция Т будет всегда, какие бы переменные мы ни вводили, однородной
функцией второй степени относительно производных от независимых
переменных, так что, если эти переменные обозначить через ?, у>, <р и т.
д., а их производные - через ?', ?//, <р', то будем иметь уравнение [44 ]
дТ , дТ , . дТ , .
2Т= gpf'-f W?+
Принцип наименьшего действия требует, чтобы интеграл
;т<и
имел максимум или минимум при условии, что начальное и конечное положения
заданы ; в связи с этим вариации координат на обоих пределах интеграла
равны нулю. Вариация б JT dt, или J д(Т dt) ], должна, следовательно,
также быть равной нулю. Но принцип живых сил дает условие
Т+ V = H, где Н обозначает произвольную постоянную.
Согласно методам вариационного исчисления нужно к интегралу
$dTdt
прибавить
$Xdt(dT + dV) [4в],
где Я - переменный неопределенный множитель ; тогда вариации не зависят
от условного уравнения.
Теперь уравнение для минимума получает вид
$ {дТ dt + Xdt(dT + dV)}= 0.
Но нужно считать переменным и время [47 ]; в самом деле, координаты
получают вполне определенные изменения только на пределах, тогда как
изменения времени остаются совершенно произвольными. Но можно сначала
оставить время неизменяющимся, если только позднее вместо вариаций &?,
dip, д<р,... ввести величины
- ?' dt, df-f'dt, дер - ср' dt.
и к той части, которая не находится под знаком интеграла, прибавить член
ТЫ*).
Таким образом, мы имеем:
О = Jdf[(A'+ \)6T + XdV],
где
... dv , dv , ,8V. ,
6v --&**+-^Ьр + -^Ыр+ ...
и
9Т , ЭТ d<Ц . дТ , . дТ d6y> , дТ , . ЭТ d6<p . ....
Путем интегрирования по частям исключим двойной символ dd; а если
теперь принять во внимание вариацию времени, то мы получим следующее
преобразованное уравнение:
О = и + J {5 - S' dt) + У (бу> - У dt) + Ф(д<р- ер' dt) + ...} dt,
в котором
и = Tdt + (Я + 1) [Щг (di -?'#)+ . • •],
или
</ = (Я+1)(?* + |>> + |>+ :..)-(2Я + 1)ГЙ,
як яг
Е = Х^ + (Х+\)дТ 81
Следовательно, мы имеем неопределенные уравнения : 3=0, !Р = 0, Ф= 0,
..., к которым надо добавить уравнение
T+V=H,
*) См. добавление к "Calcul des fonctions" (22-я лекция) [48].
О ПРИМЕНЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
169.
чтобы исключить Л, а граничное уравнение имеет вид
и2-иг = 0;
но на пределах интегрирования вариации by, by,... равны нулю; поэтому
уравнение приводится к виду
(2А + 1)!*! - (2А + 1)2 #2 = 0.
Так как вариации btb bt2 независимы, то мы получаем уравнения
(2Я+1)1 = 0> (2Л + 1)2 = 0,
которым должна удовлетворять величина Л. Если теперь помножить уравнения
Я = 0, Я7 = 0, Ф - 0, ¦ ¦ *
соответственно на di, dy, dy,... и прибавить полученные результаты к
первому уравнению, то после всех упрощений, принимая во внимание
уравнение dT + dV - 0, получим
(2Л + l)dT + Td(2X+ 1) = 0.
Из этого уравнения следует
2А+1=^,
где К - произвольная постоянная; чтобы удовлетворить условиям на
границах, следует, очевидно, положить К = 0. Тогда получается просто
21 + 1 = О, Л =--------------------------------------\
2 '
Если это значение подставить в уравнения движения, то получаются
следующие уравнения :
. 9 Т 9 Г ... QV п
91' 91 + д? 0 '
. дТ дТ , dV .. "
^ Я..,' Я.., "Ь (r) >
которые, как мы видим, являются уравнениями аналитической механики.
Если бы переменные не были независимыми одна от другой и если бы,
следовательно, существовали условные уравнения М = О, N = 0 и т. д., то,
очевидно, в предыдущих уравнениях добавились бы члены
ЭМ ,, 91V
VTydt'•••'
где /л, v,... суть неопределенные коэффициенты.
к. ГАУСС
ОБ ОДНОМ НОВОМ ОБЩЕМ ПРИНЦИПЕ МЕХАНИКИ ["]
Как известно, принцип виртуальных скоростей превращает любую проблему
статики в вопрос чистой математики, а с помощью принципа Д'Аламбера
динамика в свою очередь сводится к статике. Отсюда следует, что ни один
основной принцип равновесия или движения не может существенно отличаться
от двух упомянутых нами выше принципов и что каков бы ни был этот
принцип, его всегда можно рассматривать как более или менее
непосредственный вывод из них.
Это не значит, что всякая новая теорема не заслуживает поэтому никакого
