Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
частицу как пружину, которая действиет со всех сторон на соседние
частицы. Обозначив через F силу пружины и через / - длину, на которую она
стремится растянуться, найдем, применив здесь формулу (U) п. VIII
S3 dm и ди = - S3 dm{P dp + Qdq + Rdr +...)- S3 F df,
или, подставив П бх -f Q бу + Ч1 dz вместо Р бр Т Q dq -|- R бг ..., и
взяв F отрицательным, потому что здесь эта сила стремится удалить
частицы, найдем
S3 dm и du = - S3 dm (П dx -j- Q dy -f W dz) + Ss F df.
Подставляя это значение в последнее уравнение и заменив dm его значением
D dx dy dz, получим
- | S3 dx dy dzD [(d + Пdtj dx + \d + Ddtj dy -f
+ {d~ + Wdt}dz\+jS3Fdfdt = 0. (n)
Так как действие пружины F состоит в увеличении объема каждой частицы dm,
то ясно, что этот объем следует считать значением растяжения /, т. е. / =
dx dy dz, следовательно, переставив знаки б и d, получим
df = dy dz d dx + dx dz d dy -f dx dy d dz = dy dz d dx + dx dz d dy + dx
dy d dz ;
и далее
S3Fdf=S3(F dy dzdfe + Fdx dzddy + f dxdyd&) =
= S3 dx dy dz (^ddx + ^dcSy-y - dcSz) .
Это уравнение можно записать в таком виде:
S2 dy dz Sdx~d dx + S2dxdzSdy-^-dcSy + S2 dxdy "Sdz-d dz.
154
Ж. ЛАГРАНЖ
Выражение Sdxd дх сводится после интегрирования по частям к виду:
F дх - S dx дх
йх
j р
(я пишу dx вместо d F, чтобы показать, что этот дифференциал должен
быть взят только по х) и
F' дх' - 'F д'х - S dx дх,
дополняя интеграл согласно замечанию, сделанному нами в конце п. I
предыдущего Мемуара [28]. Заменим также
•Sdy-^d<3y на F'dy'-'Fd'y-S dy^dy,
и
Sdz-Jd<3z на F'dz' - 'Fd'z - Sdz-~-dz.
Тогда
S3 Fdf = S2 dy dz (F' dx' - ' F d 'x) + S2 dx dz (F'dy' - 'F d'y) +
+ S2 dx dy (F' dz' - 'F d'z) - S*dy dzS dx ~ dx -
- S2 dx dz S dy --j^- dy - S2 dx dySdz-^<5z =
= S2 dy dz F' dx' + S2 dx dz F' dy' + S2 dx dy F' dz' -
- S2dydz'F6'x - S2dxdz'F6'y - S2dxdy'F6'z -
-S3dxdydz{^dx + ^dy + ^-dz) ;
следовательно, заменив в уравнении (n) S3F 6f только что найденным
выражением, мы, наконец, получим
J [S2 dy dz F' dx' -(- S2 dx dz F' dy' -(- S2 dx dy F' dz' - S2 dy dz 'F
d'x -- S2 dx dz 'F d'y - S2 dx dy 'F d'z] dt - j S2 dx dy dz [(Dd ^ +
+ Dlldt + -fj- dt) dx + (Dd-%- + DQdt + dt) dy +
+ {Dd-f + DWdt + ^-dt)dz] = 0 ,
уравнение, приведенное к виду, требуемому нашим методом. Предположив, что
коэффициенты при каждой из разностей Ъх, ду,. dz равны нулю, получим
0(4% + Ял)+-?-,(< = О,
D(d^+ildt) + ^rdt~0, ?{"чг + **)+%-<И-0,
(р)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ 155
и оставшаяся часть уравнения даст
"S2 dy dz F' dx' + S2 dx dz F' by' + S2 dx dy F' dz' -
- S2 dy dz 'F d'x - S2 dx dz 'F d'y - S2 dx dy 'F d'z = 0. (q)
XLIX. [зд]. Следствие I. Три уравнения (p) содержат основные законы
движения упругих жидкостей. Чтобы применить эти уравнения, .предположим,
как в п. XLII, что
dx dy 0 dz
ЧТ ~~ а ' 4i ~~ & ' Чи ~~ У '
подставим вместо da, dp, dy их значения, найденные в том же параграфе.
Обозначив для простоты все разности через d, найдем после деления на О dt
три уравнения:
da , da г, da da " I dF
~dT + " dx + 11 d v + У ЧГ + П- - D -dx ,
dp . dfi . a dp . dp , n 1 dF
~df +a-dx+P Чу + У 4z + Q = - D W
A?- + a -У- + В dv + у 4- W = - ± dF-
dt ' dx ' ^ dy ' У dz ^ D dz
(r)
в которых останется только заменить F и D их значениями, выраженными с
помощью х, у, z, t.
Эти значения будут найдены следующим способом: F выражает силу упругости
каждой частички жидкости, которая обычно пропорциональна плотности;
предположим, следовательно, для общности, что эта сила будет какой-либо
функцией этой плотности, так что dF = EdD; получим
AfL-F-- AJL-fAAA dF - f dD
dx dx ' dy dy ' dz dz
Затем, чтобы найти D, заметим, что масса dm каждой частички жидкости
равна D dx dy dz и что зта масса остается всегда постоянной, какое бы
движение не получала жидкость; следовательно, ее дифференциал при
переменном t должен быть равен нулю, что дает
d (D dx dy dz) _ n dt
а именно:
или
dx dy dz + D dy dz + D dx dz + D dx dy = 0 ,
dD d dx d dy d dz
JL + HL = о
D ' dx ' dy 1 dz
Ho
следовательно, так же найдем
ddx , dx
dt dt
d dx
= d a;
dt da
dx dx '
d dy d dz
~ЧГ _ йР ~ЧГ = dy
dy dy ' И dz - dz
156
Ж. ЛАГРАНЖ
кроме того, ~ dt выражает изменение D в момент времени dt. Итак, если
предположить, что D представлено какой-либо функцией от х, у, z, t, най-
•дем полное значение dt в виде
at
db dD ,, | dD о .. . dD
4rdt + -wadt + -w{Sdt + llFydt;
подставим эти значения в верхнее уравнение, заменив буквы d на d и,
умножив все на D. Получим
dD dD . о dD dD da df} dy\ A
. -dT + a~*r + Plfy+Vlb+D[ИУ + 1^ + 1Ег) = 0'
или
dD d(Da)_ rf (?>/?) d (Dy) n
dt ^ dx ^ dy ^ dz
- уравнение, из которого мы узнаем D и, следовательно, F.
L. Следствие II. Пусть, согласно нашей обычной гипотезе, F = D, а
следовательно, Е = 1, и пусть уравнения (г) будут записаны в таком виде :
L - L ciIF М =__________- N = - ¦
D dx ' D dv ' D dz '
тогда
L- L M-L м = - - N = -- -
D dx ' D dy ' D dz
Предположим еще, что
da W _i_ dy^_ I J
