Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
движение может быть осуществлено также и в противоположном направлении,
например, точка должна оставаться на некоторой определенной поверхности,
расстояние между двумя точками должно быть неизменным и т. д.
Однако это есть не необходимое и в природе не всегда нужное ограничение.
Поверхность какого-либо непроницаемого тела не только принуждает
материальную точку оставаться на ней, но обусловливает появление этой
точки только на одной стороне этой поверхности; напряженная,
нерастяжимая, но гибкая нить, стягивающая две точки, делает возможным
только увеличение, но не уменьшение расстояния между ними и т. д. Почему
же мы не хотим с самого начала так выразить закон возможных перемещений,
чтобы он охватил все случаи? [м].
172
К. ГАУСС
принципу виртуальных скоростей сумма виртуальных моментов этих сил должна
быть равна нулю для всех перемещений, допускаемых связями, или же,
точнее, эта сумма никогда не может стать положительной.
Пусть у, у', у",... - положения, которые точки т, т', т",... могут занять
без нарушения связей системы, и б, б', б",... - углы, образуемые су,
с'у', с"у",.,, соответственно с cb, с'Ь', с"Ь",... ; тогда сумма
2 т-cb - су cos б
должна равняться нулю или быть отрицательной.
Но ясно, что мы имеем
уЬ2 = cb2 + су2 - 2cb ¦ cry cos б,
следовательно,
2 myb2 - 2 mcb2 = 2 т су2 -22 mcb • су cos6 и, стало быть, выражение
2 myb2 - 2 mcb2
всегда положительно, откуда следует, что Zmyb2 всегда больше суммы ЕтсЬ2,
т. е. что Zmcb2 всегда является минимумом, что и требовалось доказать [53
]. Весьма примечательно, что когда свободные движения несовместимы с
природой системы, то они изменяются совершенно так же, как геометры при
своих исчислениях изменяют выводы, полученные ими непосредственно,
применяя к ним метод наименьших квадратов, с тем чтобы сделать эти выводы
совместимыми с необходимыми условиями, предписанными природой вопроса
[м].
Настоящую аналогию можно было бы продолжить, но это выходит за пределы
поставленной мною в данный момент задачи [55].
С. ПУАССОН
ОТРЫВОК ИЗ ВТОРОГО ТОМА "ТРАКТАТА О МЕХАНИКЕ" р6]
§ 573. Если в движении системы тел, для которой действует закон живых
сил, взять произведение скорости каждой материальной точки системы на ее
массу и на элемент ее траектории и подобные произведения, полученные для
всех материальных точек, суммировать, а затем сумму эту проинтегрировать
от одного заданного положения до другого, тоже заданного, то значение
полученного интеграла будет вообще минимумом.
Эта теорема является развитием теоремы из § 160 [57] и доказывается тем
же способом ; поэтому для краткости мы этого доказательства приводить не
будем.
Если обозначить через ds элемент траектории массы т, скорость на котором
равна v, то получим интеграл Е mv ds, который вообще имеет минимальное
значение; но в некоторых случаях, как, например, в случае движения
материальной точки по замкнутой поверхности, минимум может быть заменен
максимумом ; тогда следует только доказать, что J Е mv ds всегда равен
нулю.
Так как ds = v dt, то найденный интеграл может быть 'выражен через J V
dt, если принять V = Emv2.
Другими словами, принцип наименьшего действия означает, что интеграл
произведения живой силы системы на элемент времени есть вообще минимум ;
так в природе система тел переносится из одного положения в другое с
затратой наименьшего возможного количества живой силы.
Если к движущимся точкам не приложено никакой движущей силы, то скорость
v остается постоянной (§ 565) [58] и время прохождения пути минимально.
Если сравнить принцип наименьшего действия, принцип живых сил, принцип
сохранения движения центра тяжести и закон площадей, то увидим, что
первый принцип - это только правило для составления дифференциальных
уравнений движения, теперь уже бесполезное, поскольку мы можем получить
эти уравнения способом более непосредственным и более общим по формуле
(1) из § 531 [59]; между тем другие принципы, помимо того, что они
содержат в себе важные особенности движения, имеют еще и то преимущество,
что позволяют получить единственно известные нам в большинстве задач
интегралы этих дифференциальных уравнений.
Принцип сохранения движения центра тяжести дает нам три интеграла, а
именно:
2 тх = а2'т + At,
2 ту = b 2 т + Bt,
2 mz = с 2 m + Ct,
174
С. ПУАССОН
где а, Ъ, с, А, В, С являются шестью произвольными постоянными. Из них
три первые представляют собой координаты центра тяжести системы в
начальный момент движения, а три другие выражают суммы количества
движения для этого момента, взятые параллельно осям координат для всех
точек системы.
По закону площадей получаем три первых интеграла, а именно :
2 m{xdy - у dx) = с dt,
21 m{zdx - х dz) = с' dt,
2 т{у dz - z dy) = с" dt,
где с, с', с"- три произвольные постоянные, выражающие начальные
количества движения всех точек системы по отношению к осям z, у, х или
удвоенные площади, описанные вокруг этих же осей в единицу времени.
Наконец, принцип живых сил дает один-единственный интеграл, а именно,
