Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
конечной группы; в то же время, наоборот, предельный случай бесконечно
большого числа параметров может не удовлетворять никакой системе
дифференциальных уравнений.
**) Я опускаю, где возможно, индексы также и при суммировании, так что
пишется Э2и Э*иа
- вместо -т;-5---И т. д.
дхг dxp dxy
***) Я пишу сокращенно dx, dy вместо dx1,.dxn, dyv..., dyn.
****) Все аргументы, встречающиеся в преобразованиях х, а, е, р(х),
предполагаются действительными, тогда как коэффициенты могут быть и
комплексными. Но так как в конечных результатах речь идет о тождествах
между х, и, параметрами и произвольными функциями, то эти результаты
сохраняют свою силу и для комплексных значений, поскольку все
встречающиеся функции предполагаются аналитическими. Значительная часть
результатов может быть обоснована без обращения к интегрированию, так что
здесь ограничение действительными значениями не является необходимым и
при обосновании. Напротив, кажется, что рассуждения конца § 2 и начала §
5 не могут быть проведены без интегрирования.
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
613
где у) обозначают лагранжевы выражения, т. е. левые части уравнений
Лагранжа для соответствующей вариационной задачи д1 = 0. Этому
интегральному соотношению соответствует не содержащее интегралов
тождество между 6и и его производными; это тождество получается путем
приписывания членов, соответствующих значениям на границах. Как
показывает интегрирование по частям, эти члены представляют собой
интегралы от дивергенций, т. е. от выражений
^А=^-+---+ж •
причем в выражение А линейно входят ди и его производные. Таким путем
получается
2 fi Sui = df + Div A . (3)
Если, в частности, / содержит только первые производные от и, то в случае
простого интеграла тождество (3) совпадает с уравнением, которое Гойн
(Heun) назвал "лагранжевым центральным уравнением":
= ("! = -?)• <4>
в то время как для л-кратного интеграла уравнение (3) переходит в
следующее:
2 ft Ьи, = <5/ - ¦- ( У-jh- "и,|
дх, |
3/ А"\ 9
Эхп
дх,
9/
9 ди'
. (5)
9хп
Для простого интеграла и для к производных от и уравнение (3) принимает
вид:
^ - >1 - ± ^ [о ¦^ir %+0 -4" ад-+• • •
• ¦ • + 0 *"-"]} + v\2 [0 -Д" *<¦ + йд"Г+• ¦¦ ¦
+(-1 ; (6)
2) 9uf> ' Jj 1 v ' dx* [xj Quf1
соответствующее тождество имеет место при л-кратном интеграле; в
частности, А содержит ди до (х - 1)-й производной. То обстоятельство, что
посредством уравнений (4), (5), (6) фактически определяются лагранжевы
выражения fh следует из того, что путем комбинирования правых частей
могут быть исключены все высшие производные от ди, в то время как, с
другой стороны, удовлетворяется соотношение (2), к которому однозначно
приводит интегрирование по частям.
В дальнейшем речь будет идти о двух следующих теоремах:
I. Если интеграл I инвариантен по отношению к некоторой группе (r)в, то q
линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений обращаются в
дивергенции и, обратно, из последнего условия вытекает инвариантность I
по отношению к некоторой группе щ. Теорема сохраняет справедливость и в
предельном случае бесконечно большого числа параметров.
II. Если интеграл I инвариантен по отношению к группе в которой
встречаются производные до а-й производной, то имеют место р
614
ЭММИ НЕТЕР
тождественных соотношений между лагранжевыми выражениями и их
производными до а-го порядка; здесь также возможно обращение*).
Для смешанных групп сохраняют силу обе теоремы; следовательно, имеются
как зависимости, так и не зависимые от них соотношения дивергенции
(Divergenzrelationen) [214].
Если перейти от этих тождеств к соответствующей вариационной задаче, т.
е. если положить гр = О **), то теорема I для случая одномерного
пространства, в котором дивергенция переходит в полный дифференциал,
устанавливает существование q первых интегралов, между которыми во всяком
случае могут существовать нелинейные зависимости***); в многомерном
случае получаются уравнения дивергенции, которые теперь часто определяют
как "теоремы сохранения"; теорема II говорит, что q уравнений из общего
числа уравнений Лагранжа являются следствием остальных.
Простейший пример к теореме II - без обращения - представляет вейер-
штрассовское параметрическое представление ; здесь интеграл при
однородности первого порядка является, понятно, инвариантным, если
заменить независимую переменную х произвольной функцией х, которая
оставляет функцию и неизменной [у = р(х), vt(y) = н,-(х)]. Таким образом,
появляется одна произвольная функция, но без производных; этому
соответствует известная линейная зависимость между самими выражениями
Лагранжа :
Другой пример дает "общая теория относительности" физиков; здесь идет
речь о группе всех преобразований х:
У; = Pi (х),
тогда как и (обозначаемые здесь через g,lv и q) подвергаются
преобразованиям, которые индуцируются первыми для коэффициентов
квадратичной и линейной формы и содержат первые производные от
произвольных функций р(х). Этому соответствуют известные п зависимостей
