Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
это значит, что из уравнений тяготения (4) действительно вытекают четыре
независимые одна от другой линейные комбинации (27) основных
электродинамических уравнений и их первых производных. Это есть точное
мате-
матическое выражение высказанного выше утверждения о характере
электродинамики как следствия тяготения.
Так как величина L на основании нашего предположения не должна зависеть
от производных g^, то L должна быть функцией четырех общих определенных
инвариантов, которые соответствуют введенным Ми специальным ортогональным
инвариантам ; из них простейшими являются следующие два :
Q- 2 MmnMlkgmkgnl
k,l,m,n
q = 2 Migkl ¦
kj
Простейшее и, с точки зрения строения величины К, самое естественное
выражение для L есть вместе с тем то, которое <;оответствует
электродинамике Ми, а именно:
L-.aQ + f(q) или, в частности, если следовать Ми,
L = aQ + Pf,
где f(q) - какая-либо функция q, а а и /3 - постоянные.
Как мы видим, при соответствующем толковании немногие простые
предположения, высказанные в аксиомах I и II, оказываются достаточными
для построения теории, посредством которой не только в корне
преобразуются наши представления о пространстве, времени и движении в
направлении, указанном Эйнштейном, но и, как я убежден, при помощи
составленных здесь уравнений будут разъяснены сокровеннейшие, до сих пор
скрытые явления внутри атома, и на их основе должно оказаться возможным
вообще свести все физические постоянные к математическим постоянным.
Таким путем мы приближаемся к возможности превратить в принципе физику в
науку, подобную геометрии, которая составляет, несомненно, прекраснейший
образец аксиоматического метода, пользующегося в данном случае услугами
мощных инструментов математического анализа, а именно вариационного
исчисления и теории инвариантов.
А. ЭЙНШТЕЙН
ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [**]
В последнее время Г. Лоренцу и Д. Гильберту*) удалось придать общей
теории относительности особенно наглядную форму благодаря тому, что они
вывели ее уравнения из одного-единственного вариационного принципа. То же
самое будет сделано и в данной статье. При этом моя цель будет
заключаться в том, чтобы сделать основные соотношения возможно более
ясными и настолько общими, насколько это допускает точка зрения общей
относительности. В противоположность изложению главным образом Гильберта,
о свойствах материи будет сделано по возможности мало специальных
допущений. С другой стороны, в противовес моему собственному последнему
изложению предмета выбор координатной системы останется теперь совершенно
свободным.
§ 1. Вариационный принцип и уравнения поля тяготения и материи
Пусть гравитационное поле, как обычно, описано тензором**) g((или
соответственно g'"'), а материя (включая электромагнитное поле) - любым
числом прострайственно-временных функций де, инвариантный характер
которых нам безразличен. Пусть, далее, Н есть функция от
*¦(--?). "(-Йг)-* " "-НЙ-
В таком случае вариационный принцип
<5{jHrfr} = 0 (1)
дает столько дифференциальных уравнений, сколько имеется определенных
функций g/№ и <7(е), если только мы при этом установим, что g'ir и cj(S)
должны быть варьированы независимо друг от друга так, чтобы на границах
интегри-
Об
рования все бд(е), bg^ и - обращалиеь в нуль.
Мы допустим теперь, что функция Н по отношению ко всем g{? линейна и
притом такова, что коэффициенты при ggj зависят только от g''". В таком
случае вариационный принцип (1) можно заменить другим, более удобным для
нас вариационным принципом. Интегрируя надлежащим образом по частям,
получаем
JHc/t = jH*dr+>, (2)
*) Четыре статьи Г. Лоренца в Publicationen d. KOnigl. Akad. van
Wetensch. te Amsterdam за 1915 й 1916 гг.; D. Hilbert, Gdtt. Nachr.,
1915, Heft 3.
**) Вначале мы не пользуемся тензорным характером guv.
где F есть интеграл, взятый по границе рассматриваемой области, а
величина Н* зависит только от g'"', g", qM, q(e)a, но не зависит больше
от g!'vz. Из (2) для интересующих нас вариаций получаем
поэтому мы вправе заменить наш вариационный принцип (1) следующим более
удобным
<5 { J- Н* drj = 0. (1а)
Выполнив вариации по gfn' и ^е), получим следующие формулы*) в качестве
уравнений поля тяготения и материи :
Если не сделать никаких специальных допущений о том, каким образом Н
зависит от g>", gf, g%vz, q(e), q{e)a, то нельзя разделить компоненты
знергии на две части, из которых одна относится к полю тяготения, а
другая - к материи. Для того чтобы теория допускала подобное деление, мы
принимаем, что
где G зависит только от gu", g'", g"z, а М зависит только от g'% q{r,h
qMa. Формулы (4) и (5) принимают тогда следующий вид :
При этом G* относится к G так, как Н* к Н. Следует, однако, заметить, что
уравнения (8) или (5) пришлось бы заменить другими, если бы мы приняли,
что М и Н зависят не только от первых, но и от высших производных от
<7(е). Равным образом возможно, что q^следует рассматривать не
