Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
си-темы значений (х)0, а дифференциалы du, 6и преобразуются так же, как и
сами функции и.
Если подставить (12) в выражение / (х, dx), то оно переходит в F (и, du)
или же при разложении в ряд по степеням,
F (и, du) = F0 (и, du) + Fx (и, du) + • • • + Fe (и, du) + ... , (13)
где Fe (и, du) обозначает однородную форму g-го измерения относительно и.
Вследствие линейности преобразования и = и (v) на основании условия
F (и, du) = G (v, dv)
отдельные однородные составные части также преобразуются соответственным
образом:
Fe (и, du) = Gg (v, dv). (14)
Таким образом, если взять в качестве (х)0 какую-нибудь определенную,
постоянную систему значений, то, как показывают уравнения (13) и (14),
эквивалентность выражений / (dx) и g (dy) равнозначна с эквивалентностью
соответствующих систем функций Fe(u, du) по отношению к линейному
преобразованию. Выражения Fe(u,du) или соответствующие выражения Fg (ди,
du) представляют собою инварианты выражения / (dx) в точке х = (х)0,
ИНВАРИАНТЫ ЛЮБЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
609
а именно, они образуют полную систему основных функций для этой точки х
== (xV В самом деле, мы имеем
эта последняя производная может быть при помощи (12) выпажена через
производные от / (dx), взятые для х = (х)0, совершенно так же, как
аналогично образованная производная от G(dv) выражается через производные
от g (dy). На основании равенства
любой инвариант выражения / (dx) = F (du), взятый в точке х = (х)0,
делается проективным инвариантом выражения F (8и, du), коль скоро мы
подставим вместо высших дифференциалов величины р, q, г, ...,
коградиентные dx, дх. Но ведь на (х)0 можно смотреть как на параметр ;
всякому инварианту в точке х = (х)0 соответствует инвариант выражения /
(dx), если только (х)0 опять заменить через х. Если Fe(du, du) становятся
инвариантами WQ (дх, dx), взятыми в точке х = (х)0 (для х = (х)0 du, ди
переходят в dx, дх), то выражения We сами образуют основные функции
полной системы. Теперь нужно еще эту систему основных функций явно
выразить через инварианты выражения / (dx), а именно, через функции (8).
Что это возможно, явствует из способа их получения посредством
дифференцирования. Именно, для членов высшего порядка эти процессы
переходят в простые полярпроцессы (Polarprozesfe), и преобразование,
аналогичное разложению в ряд Клебша- Гордана [212], в связи с заключением
по индукции относительно отбрасываемых членов доказывает высказанное
утверждение. Если дело идет об инвариантах совместной системы, то к новым
функциям (8) приходится прибавить ковариантные производные остальных
дифференциальных выражений, как это показывает введение в эти выражения
нормальных координат, относящихся к / (dx).
Эквивалентность выражений / (dx) и g (dy), которая была сведена к формуле
(14), таким образом, делается также равнозначащей с эквивалентностью
выражений We или также функций (8) по отношению к линейному
преобразованию дифференциалов ; при этом не требуется никаких особых
условий интегрируемости, как это' вытекает из возможности сведения к
равенству (14). Этим теорема приведения доказана во всех своих частях. В
частности, тождественное исчезновение ряда функций [й2], [-03],... ...,
[Ц,], ... необходимо и достаточно для того, чтобы выражение f(dx) можно
было преобразовать в выражение с постоянными коэффициентами.
Наконец, если положить в основу вместо группы всех аналитических
преобразований некоторую подгруппу, то и группа соответствующих линейных
преобразований величин и переходит в подгруппу проективной группы ;
инварианты выражения / (dx) становятся опять инвариантами функций (8) по
отношению к линейному преобразованию, но теперь уже по отношению к этой
подгруппе. Так можно путем гомогенизации свести случай неоднородных
функций f (dx) к аффинной группе; полная система может быть здесь
выведена из функций (8), образованных для большего на единицу числа
переменных.
Из теоремы приведения получается специальный случай квадратичных форм или
вообще форм р-го измерения. Для этого нужно систему функций
де+а F (du)\ де+а Fe(du, du)
dueddua J0 ddueddu"
Няпияпыпнныр гтпРгиттгты мехяники
оборвать на [??2] или вообще на [??р] и их ковариантных производных; при
этом все дальнейшие основные функции становятся проективными инвариантами
первых. Этим объясняется особое положение римановой формы кривизны [??2]
среди квадратичных форм. Вопрос об эквивалентности квадратичных форм или
соответственно форм р-го измерения сводится как раз к эквивалентности
функций [fi2] или соответственно [-QJ, ..., [&р] и их ковариантных
производных по отношению к линейным преобразованиям, а тождественное
исчезновение [??2] или соответственно [.QJ, ..., [Qp] необходимо и
достаточно для возможности преобразования в формы с постоянными
коэффициентами ; этим в отношении квадратичных форм высказывается один из
наиболее известных результатов.
Более подробное изложение должно появиться вслед за этим в Math..
