Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 275

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 269 270 271 272 273 274 < 275 > 276 277 278 279 280 281 .. 461 >> Следующая

энергии (21) и (22) получены только из одних уравнений (7) для поля
тяготения в соединении с постулатом общей ковариантности
(относительности) без применения уравнений поля (8) для материальных
явлений.
ЭММИ НЕТЕР
ИНВАРИАНТЫ ЛЮБЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ [207]
(Доложено на заседании от 25 января 1918 г. Ф. К л е й ном)
Под дифференциальным выражением я понимаю функцию
/ (х, dx) = / (xv ..., хп, dxv ..., dxn)
от п переменных хъ ... ,хп и их дифференциалов dxv ..., dxn, которая
предполагается аналитической относительно обеих систем п аргументов, но
не обязательно вещественной. Я кладу в основу группу аналитических
преобразований переменных, которой соответствует группа всех линейных
преобразований дифференциалов :
х( = х,(уг, ... ,уп), dxt - dyk, fot=* ?-^дук; 0)
пусть эти преобразования переводят выражение / (х, dx) в g (у, dy). Под
инвариантом выражения / (х, dx) я понимаю инвариант в отношении этой
группы и той группы, которая получается из этой группы для высших
дифференциалов d2x, ddx, ... и для производных от / (х, dx); иначе
говоря, такую (аналитическую) функцию J, что для любого / в силу
уравнений (1) имеет место следующее равенство, тождественное в отношении
переменных и всех встречающихся в нем дифференциалов :
/ (f -te+°f ^ 2 Л
J [I' дйх ' • • • ' 9хе Ъйх° ' > ах ' х ' а )
= *+°е- dv ду d^v Г)
J \Ь' дdy ' • • • ' 9 ув 9 йуа ' • ' • ' У' У >"/"••• J •
В полном соответствии с этим должен определяться инвариант совместной
системы дифференциальных выражений. В частности, если такой инвариант
содержит только первые дифференциалы dx, дх и производные только по этим
дифференциалам, но не по самим переменным, то не имеет значения то
обстоятельство, что в функции и в линейные выражения дифференциалов
входят сами переменные; эти специальные инварианты становятся
инвариантами по отношению к группе всех линейных преобразований
дифференциалов dx, дх с неопределенными коэффициентами и должны быть
названы проективными инвариантами совместной системы.
Эе+"/
dxeddx" П0ВСЮДУ сокращенно ставится вместо
9е+а f
Эх,^ ... 9xte 9 dxki... 9 dXkn ' где индексы обозначают числа от 1 до п.
ИНВАРИАНТЫ ЛЮБЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
605
Для квадратичных однородных дифференциальных форм Кристофель (Crelle, 70)
и Риччи (Math. Annalen, 54) составили такую систему инвариантных
образований, что все инварианты делаются проективными инвариантами этой
совместной системы, чем вопросы о полноте инвариантов и об
эквивалентности сведены к вопросам линейной теории инвариантов, что я
назвала бы "теоремой приведения" (Reductionstheorem). Полная система
состоит из счетного бесконечного множества форм ; но для инвариантов
каждого конечного порядка р (т. е. таких, которые не содержат производных
по переменным выше порядка р) - лишь из конечного множества форм.
В дальнейшем я покажу пригодность "теоремы приведения" для любых
дифференциальных выражений; и именно здесь речь идет опять о полной
системе бесконечного счетного множества инвариантных образований,
которое, однако, оказывается конечным для любого конечного порядка. Но в
то время как Кристофель и Риччи для образования инвариантов и для
доказательства теоремы приведения опираются на трудно обозримые
исключения, я получаю инварианты непосредственно путем инвариантного
дифференцирования и варьирования (последнее может попросту
рассматриваться как дифференцирование по другим параметрам). Алгоритм
этого инвариантного дифференцирования был развит Риманом (Werke, XXII) и
Липшицем (Crelle, 70, 72), работы которых примыкают к Лагранжу (Mecanique
analytique, ч. 2, раздел IV). Но у них дело не доведено до теоремы
приведения. Вспомогательное средство для доказательства теоремы
приведения для квадратичных форм дают введенные Риманом "нормальные
координаты" [208] (Werke, XIII), которые преобразуют в прямые линии
экстремали соответствующей вариационной задачи, выходящие из одной точки,
но существуют только для однородных дифференциальных выражений :
/ (х, хйх) = Ф (я) ¦ / (х, dx) *).
Неоднородный случай, впрочем, сводится к вышеуказанному случаю.
I. Образование инвариантов
Вообще говоря, не обрывающийся ряд проективных инвариантов для /(х, dx)
дают нам поляры. Вследствие линейности преобразования дифференциалов, из
равенства
/ (х, dx) = g (у, dy)
следует также
/ (х, dx + 1 dx) = g (у, dy + 1 ду)
и отсюда, путем разложения по А получаются следующие, характерные для
инвариантности соотношения:
f(dx) = g(dy),
U
у 3/ (dx) д у д?Ш_ fa 9dx 9 dy у '
, _ -у 9° / (4х) ^
/"" ^2 9dXa
У**!*" ду°
•" 9 dya "
(2)
*) Легко показать, что Ф (н) равно хс, где с обозначает какую-нибудь
вещественную
или комплексную величину.
606
ЭММИ НЕТЕР
Каждая поляра путем применения варьирования д дает основание для
построения необрывающегося ряда общих инвариантов [209]:
Соотношения (2) и (3) позволяют, в силу определения (1), прочитать законы
преобразования для производных от / (х, dx), чем, впрочем, нам не
Предыдущая << 1 .. 269 270 271 272 273 274 < 275 > 276 277 278 279 280 281 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed