Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 274

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 268 269 270 271 272 273 < 274 > 275 276 277 278 279 280 .. 461 >> Следующая

независимыми друг от друга, а как величины, связанные друг с другом
некоторыми условиями. Все это не имеет значения для дальнейшего
изложения, так как последнее основано исключительно на уравнениях (7),
которые были получены посредством варьирования интеграла по g>".
*) Ради краткости в формулах пропущен знак суммы 2. Необходимо всегда
иметь в виду суммирование по тем значкам, которые встречаются дважды в
том или ином Члене.
Следовательно, в (4), например, - означает
<5{J Hdr} = <5{J H*dr},
(3)
(4)
(5)
§ 2. Раздельное существование гравитационного поля
H = G + M
(6)
(7)
(8)
ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
601
§ 3. Свойства уравнений поля тяготения, вытекающие из теории инвариантов
Введем теперь допущение, что
ds2 = g"" dx" dxv (9)
представляет собой инвариант. Тем самым установлен характер
преобразования gfiv. О характере преобразования <7(е), описывающих
материю, мы не делаем никаких допущений. Напротив, пусть функции
и Н п G М
Н = -ту--~ , G = ¦ , и М
Y-g ' Y-g Y-g
будут инвариантами по отношению к любым подстановкам пространственно-
временных координат. Из этих предпосылок вытекает общая ковариантность
уравнений (7) и (8), выведенных из (1). Далее следует, что G (с точностью
до постоянного множителя) должно равняться скаляру римановского тензора
кривизны; ибо нет другого инварианта со свойствами, которыми должен
обладать <?*). Тем самым вполне определены и G*, и вместе с ним левая
часть уравнения поля (7)**).
Из общего постулата относительности вытекают определенные свойства
функции G*, которые мы теперь и выведем. С этой целью произведем
бесконечно малое преобразование координат, полагая
х' = х" + Ах"; (10)
Ах" представляют собой любые, бесконечно малые функции координат, x!v -
координаты мировой точки в новой системе, х" - координаты той же точки в
старой системе. Как для координат, так и для всякой другой величины Ч*
справедлив закон преобразования вида
W = W + АЧ>,
причем A W всегда может быть выражено через АхР.
Из ковариантных свойств g''" легко выводятся законы преобразования для
g"" и gf :
ГГ = Г'-;?' + Г--'А' . (И)
(|2>
Так как G* зависит только от g'"' и gf, то, пользуясь (11) и (12), можно
вычислить A G*. Таким образом, получается
+ О"
где ради краткости положено
S" = 2 g"" + 2 ¦ д0* g*v -\- G* д" g"" (14)
9Га g ^ эgr ga а dg$a К
*) Этим объясняется, почему требование общей относительности приводит к
вполне определенной теории тяготения.
**) Интегрируя по частям, получаем
G* = Y-е г [{у}{-еf} - {'';}{"/}] •
602
А. ЭЙНШТЕЙН
Из этих двух уравнений мы выводим два следствия, важных в дальнейшем. Мы
знаем, что -гД=- инвариантно по отношению к любым подстанов-Y-g
G*
кам, но -Т7=- этим свойством не обладает. Однако легко доказать относи-
Y-g
тельно последней величины, что она инвариантна по отношению к линейным
подстановкам координат. Отсюда следует, что правая часть (13) всегда
обра-
02 А х
щается в нуль, когда все --равны нулю, и что G*j должно удовле-
ОХр Олд
творять тождеству
S: = 0. (15)
Если мы, далее, будем брать такие А хг, которые отличны от нуля только
внутри рассматриваемой области, но обращаются в нуль на бесконечно
близком расстоянии от границы области, то при выбранном нами
преобразовании значение интеграла, входящего в уравнение (2) и взятого по
границе области, не изменится ; следовательно,
Л (F) = О,
и поэтому*)
¦d{jGdr} = zI{jG* 'Т
Левая часть уравнения должна, однако, обратиться в нуль, так как и -у^=-,
и ]/-g dr суть инварианты. Следовательно, правая часть тоже
равна нулю.
На основании (13), (14) и (15) получаем сначала
-VГ" -4Ха dr = 0. (16)
9gf ь дх,дха
Если преобразовать это уравнение двукратным интегрированием по частям и
принять во внимание свободный выбор А ха, то получим тождество
Э2
дХ,,дХа
ШН = °- ОГ)
Сделаем теперь выводы, следующие из двух тождеств (16) и (17); последние
вытекают из инвариантности и, следовательно, из постулата общей
l-g
относительности.
Для этого преобразуем сначала уравнения поля тяготения посредством
смешанного умножения на g"". Тогда получим (при перестановке значков а и
v) уравнения, эквивалентные уравнениям поля (7) :
Эх,
где положено
Ъ=-т?гГ. (19)
30V + ^rK(°**- -?"¦)¦ <20>
*) Если ввести G и G* вместо Н и Н*.
ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
603
Последнее выражение для t' следует из равенств (14) и (15). Дифференцируя
равенство (18) по хР и суммируя по v, имеем на основании ра-вентсва (17)
-^СП;+ t!;) = o. (21)
Формула (21) выражает закон сохранения импульса и энергии. Назовем
Та компонентами энергии материи и t' - компонентами энергии поля
тяготения.
Умножив уравнения (7) поля тяготения на gf и просуммировав их по /(иг,
получим в силу равенства (20):
Эх, ^ 2 Эgn* '
или в силу равенств (19) и (21):
-f^ + |gnv, = 0, (22)
где Т,,, означает g"a Т(r). Мы имеем здесь четыре уравнения, которым должны
удовлетворять энергетические компоненты материи.
Следует отметить, что общековариантные законы сохранения импульса и
Предыдущая << 1 .. 268 269 270 271 272 273 < 274 > 275 276 277 278 279 280 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed