Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 283

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 277 278 279 280 281 282 < 283 > 284 285 286 287 288 289 .. 461 >> Следующая

производной от первого (как это, например, всегда имеет место для
*) Вообще существует еще зависимость ц'я =" const для любого А и
соответственно
1 d
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
621
(c)ooi); так что фактически получается линейность, либо число произвольных
-функций и здесь возрастает. Итак, вследствие линейности функций р{х)
бесконечно малые преобразования удовлетворяют системе линейных
дифференциальных уравнений в частных производных, а так как условие
существования группы выполнено, то они, по определению Ли ("Основания", §
10), образуют "бесконечную группу бесконечно малых преобразований".
Обращение здесь получается подобно тому, как в случае конечной группы.
Существование зависимостей (16) ведет после умножения на р(Д)(х) и
сложения при помощи тождественного преобразования (14) к уравнению
2 WtMi - Div Г,
•а отсюда вытекает, как и в § 3, определение Ах и Аи и инвариантность
интеграла I относительно этих бесконечно малых преобразований, которые в
действительности зависят линейно от о произвольных функций и от их
производных до порядка а включительно. Что эти бесконечно малые
преобразо-
9 и _
вания, если они не содержат производных -g^-, , наверное,
образуют
группу, следует, как и в § 3, из того, что иначе при сложении было бы
введено больше произвольных функций, в то время как, по предположению,
должно быть только q зависимостей (16); следовательно, эти преобразования
образуют "бесконечную группу бесконечно малых преобразований". Но такая
группа состоит ("Основания", теорема VII, стр. 391) из самых общих
бесконечно малых преобразований известной, сторого определенной в ¦смысле
Ли, "бесконечной группы (c) конечных преобразований". Каждое конечное
преобразование при этом получается из бесконечно малого ("Основания", §
7)*) путем интегрирования совместной системы:
if = А,,' §- = /!",] при; ( = 0
причем может оказаться нужным рассматривать произвольные функции р(х) еще
и как зависящие от t. Значит, (c) действительно зависит от q произвольных
функций; в частности, достаточно предположить р{х) свободными от t, чтобы
эта зависимость оказалась аналитической относительно
произвольных функций q(x) = t-p(x) **). Если входят производные ...,
то может оказаться необходимым, прежде чем сделать тот же вывод, добавить
еще бесконечно малое преобразование ди = 0, Div (/ ¦ Ах) = 0.
В связи с примером, приводимым Ли ("Основания", § 7), укажем еще довольно
общий случай, в котором можно добраться до явных формул, в которые входят
производные от произвольных функций порядка не выше а ; стало быть, в
этом случае обращение получается полное. Это - такие группы бесконечно
малых преобразований, которым соответствует группа всех преобразований х
и "вытекающих" из них преобразований и, т. е. такие
*) Отсюда, в частности, следует, что группа (r),полученная из бесконечно
малых преобразований Ах и Ли некоторой группы опять приводит к группе
(r)*,е, ибо не содержит никаких отличных от Эх, Ли, зависящих от
произвольных функций бесконечно малых преобразований, и не может
содержать также независимых от них, но зависящих от параметров
преобразований, так как иначе это была бы смешанная группа. Но бесконечно
малые преобразования, как показано выше, определяют собой конечные
преобразования.
**) Вопрос о том, всегда ли имеет место этот последний случай, поставлен
Ли в иной формулировке ("Основания", § 7 и конец § 13).
622
ЭММИ НЕТЕР
преобразования и, при которых А и, а следовательно, и и зависят только от
произвольных функций, входящих в Ах ; при этом предполагается еще, что
производные-^-,..., в Аи не входят. Следовательно, мы имеем
Axi = рС) (х), Ащ = 2 |а(Д) (х, и) р(;) + Ь(,) + ... + с(Д> -|.
Так как из бесконечно малого преобразования Ах = рх получается каждое
преобразование х = у + g (у) с произвольным g (у), то можно, в частности,
установить такую зависимость р (х) от t, чтобы получилась одночленная
группа
Xi = yt + t-gt(y), (18)
которая при t = 0 переходит в тождество, а для t = 1 - в искомое
преобразование х = у + g(y).
В самом деле, путем дифференцирования из уравнения (18) получается
Ж = Sl (У) = P{i)(x, t), (19)
где р(х, t) определяется через g(y) путем обращения выражения (18), и
наоборот, уравнение (18) получается из (19) при добавочном условии: х, =
у, при t = 0; |это условие однозначно определяет интеграл. При помощи
уравнения (18) можно х, входящие в Аи, выразить через "постоянные
интеграции" у и через t; тогда g(y) войдут как раз под
знаком производных до
порядка а включительно; при этом в выражениях
эр _ у_9|_ _ Эу"
Зх 3у* Эх
Эу Эх с- &*-р , де
выражаются через вообще--^- - выражаются в функции...
Эх Э°х
..., -д^-, ..., -д^- . Таким образом, для определения "получается система
уравнений
lu- = Fi{lZ(y)>lfr (при t = 0 и, = *>,),
в которой только t и и являются переменными, a g (у) принадлежат к
коэффициентам ; таким образом, интегрирование дает
4 = 4 + B'(v,g<y),
т. е. преобразования, которые зависят только от а производных
Предыдущая << 1 .. 277 278 279 280 281 282 < 283 > 284 285 286 287 288 289 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed