Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
произвольных функций. Эти преобразования согласно (18) включают тождество
при
g (у) = 0, а то, что они образуют группу, вытекает из того, что указанный
процесс дает каждое преобразование х = у + g (у), чем однозначно
устанавливается и вытекающее отсюда преобразование для и; следовательно,
группа (r) полностью определена.
Из обращения следует еще, что если мы получаем произвольные функции
Эц
зависящими только от х, но не от и, ,..., то это не означает никакого
ограничения. В последнем случае в тождественное преобразование (14), а
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
623
следовательно, и в (15), кроме р(Л) входили бы также ¦ ¦ •
Поэтому,
^ Эх
если последовательно полагать р(Д) нулевой, первой, ... степени
относительно и, ,... с произвольными функциями от х в качестве
коэффициентов, то снова появятся зависимости (16), но в большем числе;
однако эти зависимости согласно рассмотренному выше обращению приводятся
к предыдущему случаю посредством соединения с произвольными функциями,
зависящими только от х. Точно так же можно показать, что одновременному
появлению зависимостей и независимых от них соотношений дивергенций
соответствуют смешанные группы*).
§ 5. Инвариантность отдельных составных частей соотношений
Если специализировать группу (r), ограничившись простейшим обычно
рассматриваемым случаем, когда в преобразования не входят производные от
и и когда преобразуемые независимые переменные зависят только от х, а не
от и, то можно сделать вывод об инвариантности отдельных составных
*) Как в § 3, из обращения следует, что, помимо интеграла I, каждый
интеграл, разнящийся от_него на интеграл I* от дивергенции, также
допускает бесконечную группу с теми же ди, причем, однако, Ах и Аи,
вообще говоря, будут содержать производные от и. Такой интеграл I*
Эйнштейн ввел в общую теорию относительности, чтобы получить более
простое выражение законов энергии ; я указываю бесконечно малые
преобразования, которые допускает этот интеграл I*, примыкая в
обозначениях ко второй статье Клейна. Интеграл
/ = J J К dm = J ... J й dS
допускает группу всех преобразований w и полученную из нее для g/lv;
отсюда следуют зависимости [(30) у Клейна]:
v $ ot*v д. 2 У dff'1'*' - о
^ дп/а -П.
Но
где
й* = й + Div ,
а следовательно, получаем
(r)* _ (r)
OVpv - V'-[XV )
где й, й* означают выражения Лагранжа. Приведенные зависимости будут,
стало быть, такими же и для й* ; после умножения на рт и сложения
получается посредством обратного преобразования
^ й"" pf" + 2 Div (2 g(tm) й"т pz) = О,
<5Й* + Div U 2 gi" Й"tpr 1^") = 0.
Путем сравнения с дифференциальным уравнением Ли найдем
<5Й* + Div (й* Aw) = 0.
Отсюда следуют бесконечно малые преобразования, допускаемые интегралом I
* .
A)Va :
&-{s2gr*inp' " = go Awa.
9gS
-pt1"
Эти бесконечно малые преобразования зависят, следовательно, от первой и
второй производных g"v и содержат производные р вместе с их первыми
производными.
<024
эмми nticr
частей в формулах. Прежде всего получается путем уже известных
умозаключений инвариантность интеграла
J ••• К21 у>1*М)йх, а следовательно, относительная инвариантность
выражения
где под д понимается какая-нибудь вариация. В самом деле, мы, с одной
стороны, имеем
<S/ = J ... ja/(x,u, -g-, ...)dx = j... р/(у,г>, dy,
s s э M
•с другой - равные нулю на границе значения ди, о ,... , которым
вследствие линейности и однородности преобразования величин ди, б
соответствуют также исчезающие на границе величины dv, д :
J ... J<5/ (х, и, ...) dx = J ... (и, ...) to() dx,
J ... J (у, v, -JjJ-, ...)dy = J ... J(^ ?",(", ...)"(r),)dy;
следовательно, для исчезающих на границе значений ди, д ~, ... будем
иметь
J ... •• •) <5u,)dx= f ... • •.)<Ч)dy =
= J ... • • •)*"/)
Эу(
Эхх
dx.
Если в третьем интеграле выразить у, г, дг) через х, и, ди и положить его
равным первому, то будем иметь соотношение
j ••• 1(2Ы"> ...)*щ)йх = 0
для исчезающего на границе, а в остальном произвольного ди, а отсюда, как
известно, вытекает исчезновение подынтегральной функции для любого ди;
следовательно, мы имеем тождественное относительно ди соотношение:
2fi(u,...)dui= ¦ ¦ .)b>t),
которое устанавливает относительную инвариантность выражения ? xpt дщ, а
следовательно, инвариантность интеграла
J • • • $(ZVidUi)dx**).
*) То есть 2 WidtLi получает при преобразовании множитель, что в
алгебраической теории инвариантов всегда называют относительной
инвариантностью.
**) Эти рассуждения отпадают, если у зависит также от и, так как в этом
случае выражение
df{y'v' W'-)
содержит также члены
2%**.
а следовательно, преобразование при помощи дивергенции не приводит к
выраже-
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
625
Чтобы применить это к выведенным соотношениям дивергенций и к
зависимостям, нужно сначала доказать, что ди, выведенное из Ли, Ах,
действительно будет удовлетворять законам преобразования для ди, коль
скоро только параметры или соответственно произвольные функции в dv будут
