Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 280

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 274 275 276 277 278 279 < 280 > 281 282 283 284 285 286 .. 461 >> Следующая

между выражениями Лагранжа и их первыми производными****).
Если, в частности, специализировать группу, не допуская производных от
и(ху в преобразованиях и, кроме того, требуя, чтобы преобразуемые
независимые величины зависели только от х, а не от и, то (как будет
показано в § 5) из инвариантности интеграла / следует относительная
инвариантность 2щЬи*****), а также дивергенций, фигурирующих в теореме I,
коль скоро параметры подвергаются соответствующим преобразованиям. Отсюда
следует еще, что и упомянутые выше первые интегралы допускают группу. Для
теоремы II точно так .же получается относительная инвариантность левых
частей зависимостей, составленных при помощи произвольных функций; как
следствие этого получается еще одна функция, дивергенция которой
тождественно исчезает и допускает группу, которая в теории
относительности физиков осуществляет связь между этими зависимостями и
зако-номэнергии******). Теорема II дает, наконец, методом теории групп
доказательство связанного с этим утверждения Гильберта об отпадении
некоторых
*) По поводу некоторых тривиальных случаев, ср. § 2, 2-е примечание.
**) Для большей общности можно было бы также положить щ = Т,-, см. § 3,
первую сноску.
***) См. конец § 3.
****)См. хотя бы представление Клейна.
*****) Это значит, что Ущ ди, получает при преобразовании некоторый
множитель. ******) См. вторую статью Клейна.
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
615
теорем, касающихся энергии, в "общей относительности". С этими
добавочными замечаниями теорема I содержит все известные в механике
теоремы о первых интегралах, в то время как теорема II может считаться
наибольшим возможным обобщением с точки зрения теории групп "общей теории
относительности".
§ 2. Соотношения дивергенций и зависимости
Пусть @ - некоторая конечная или бесконечная непрерывная группа; тогда
можно достигнуть того, что тождественному преобразованию будут
соответствовать нулевые значения параметров е или соответственно
произвольных функций р(х)*). Следовательно, наиболее общее преобразование
будет иметь вид:
у, = А, (х, и, ...) = х, + AXi + ...,
(7)
(yi) ~ ^х, и, ,... j Ui "Т Aiit • • •)
где А х,-, A ut обозначают члены низшего измерения относительно е,
соответственно р(х) и их производных; следует принять, что они здесь
входят линейно. Как выяснится далее, это не является ограничением
общности.
Пусть теперь интеграл / будет инвариантом по отношению к @,
следовательно, будет удовлетворяться соотношение (1). В частности, тогда
/ будет также инвариантом по отношению к содержащемуся в (c) бесконечно
малому преобразованию:
у, = х,- + A xt, Vi (у) = щ + Ащ\ для этого случая соотношение (1)
переходит в такое:
0 = ^/ = J\.. |/(у,"(У), J/(x,u(x), ...)dx,
где первый интеграл распространяется на область х + А х, соответствующую
области х. Это интегрирование может быть, впрочем, также преобразовано в
интегрирование по области х при помощи следующего преобразования,
имеющего силу для бесконечно малых Ах:
J ¦¦¦ff(y,v(y),-^-,...)dy =
= /••• //(*""(")> -?> ... j dx + J ... | Div (f, Ax) dx. (8)
Таким образом, если вместо бесконечно малого преобразования А и написать
вариацию
ди( = vt (х) - щ (х) = Ащ-^^~Ах1, (9)
*) Ср., например, JI и, Основания, стр. 331. Если дело касается
произвольных функций, то следует специальные значения аа параметров
заменить определенными функ-
дра
циями ра , ,... и в соответствии с этим значения а + е - функциями ра + р
(х),
дра др Х
616
ЭММИ НЕТЕР
то уравнения (7) и (8) переходят в следующее:
О = J • • • И*5/ + Div(f-Ax)}dx. (10)
Правая часть есть известная формула одновременного варьирования зависимых
и независимых переменных. Так как соотношение (10) удовлетворяется при
интегрировании по любой области, то подынтегральное выражение должно
исчезать тождественно ; итак, дифференциальные уравнения Ли в случае
инвариантности I принимают вид соотношения
б/ + Div (/ - Лх> = 0. (11)
Если здесь на основании (3) представить 6/ через выражения Лагранжа, то
получается:
2 Vi $ui = Div В (В= А - / • Лх), (12)
и это соотношение представляет собой для каждого инвариантного интеграла
I тождество относительно всех входящих в него аргументов; это и есть
искомая форма дифференциальных уравнений Ли для /*).
Будем считать сначала (c) конечной непрерывной группой; так как, по
предположению, Ли и Лх линейны относительно параметров е1; ..., ввг то на
основании (9) то же самое имеет место и для вариации 5и и ее производных
; таким образом, А и В линейны относительно е. Поэтому, если я положу
? = &-Vb1 + ... + BeUe, да = duW ег+ . . . + й#?8,
_ 0 И
где, следовательно, д ц(1),... являются функциями от х, и, , • • •, то из
уравнения (12) вытекают искомые соотношения дивергенций:
2 % диф = Div ..............2 Vi = Div №>. (13)
Итак, q линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений переходят в
дивергенции; линейная независимость следует из того, что согласно
равенству (9) из условий зи - 0, Лх=0 вытекало бы, что Ли -О, Лх=0, и
Предыдущая << 1 .. 274 275 276 277 278 279 < 280 > 281 282 283 284 285 286 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed