Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 282

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 276 277 278 279 280 281 < 282 > 283 284 285 286 287 288 .. 461 >> Следующая

бесконечно малое преобразование имело бы специальную форму, такую, что
ди=0, Div (i-Ax)=0, но тогда Ах и Ау в противоречии с предположением
зависели бы от производных. Вопрос о том, может ли представиться случай,
когда в Ах или Аи входят производные, должен остаться открытым; в этом
случае к определенному выше Ах пришлось бы присоединить все функции Ах,
для которых Div (/ • Ах) = 0, чтобы снова получить группу, но добавленные
таким путем параметры не должны, согласно условию, приниматься во
внимание. Этим доказано обращение.
Из этого обращения следует еще, что фактически мы имеем право брать Ах и
Аи линейными относительно параметров. В самом деле, если бы Аи и Ах были
формами высших степеней относительно е, то вследствие линейной
независимости произведений степеней е соответствующие соотношения (13)
получились бы в большем числе, а из них после обращения вытекает
инвариантность интеграла I по отношению к группе, бесконечно малые
преобразования которой содержат параметры линейно. Если эта груп-
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
619
па должна содержать в точности д параметров, то неизбежно будут
существовать линейные зависимости между соотношениями дивергенций,
полученными первоначально, благодаря членам высшей степени относительно
е.
Нужно еще заметить, что в случае, когда Ах и Аи содержат также
производные от и, конечные преобразования могут зависеть от бесконечно
большого числа производных от и; в самом деле, интегрирование системы
(17) ведет в этом случае, при определении , к уравнению
л ( ди ) дЛи ^ ди д Ахх
rsxw ~ "эх; ^ "эхГ liT'
так что число производных от и, вообще говоря, возрастает с каждой
ступенью. Так, например,
/ = ^ц'2, w= - u", у-х = ~(и - и'х), ди = х-е,
Лх = -^?' Аи==(х~ 1^)?-
Так как лагранжевы выражения дивергенции тождественно исчезают, то
обращение показывает еще следующее: если / допускает группу (r)о, то каждый
интеграл, который отличается от / только на интеграл по границе, т. е.
интеграл от дивергенции, также допускает группу (r)е с теми же самыми Ьиь
группу, бесконечно малые преобразования которой, вообще
говоря, будут содержать производные от и. Так, например, в
соответствии с
вышеприведенным примером
/* = т{"'-ж(-г)}
допускает бесконечно малое преобразование
Аи = хе, Ах = 0;
в то же время в бесконечно малые преобразования, соответствующие /,
входят производные от и.
Если перейти к вариационной задаче, т. е. если положить у>( - 0 *), то
•соотношения (13) переходят в уравнения:
DivВ(1) = 0, ..., Div В*" = 0,
которые часто называются "законами сохранения". В одномерном случае
отсюда следует:
В(1) = const, ..., B(Q) = const;
при этом В содержат производные порядка не выше 2 х - 1 от и [согласно
(6) ], коль скоро Аи и Ах не содержат производных более высокого порядка,
чем входящие в / производные порядка я.Таккак в хр, вообще говоря,
встречаются производные порядка 2и**), то, следовательно, имеются налицо
g первых интегралов. Что между ними могут существовать нелинейные эависи-
*) Уравнения щ = О или, несколько более общб, щ = Т,, где Т, - вновь
вводимые функции, называются в физике уравнениями поля. В случае щ = Т,-
тождества (13) переходят в уравнения: Div BW = TiduiW, которые в физике
именуются также законами сохранения.
**) Поскольку / не является линейной функцией у.-х производных.
620
ЭММИ НЕТЕР
мости, показывает опять вышеприведенный пример /. Линейно независимым* Ли
= е1( Ах - е2 соответствуют линейно независимые соотношения:
и" - и' и" • и' - ---- (и'№ и - ах ' 2 dx ' ' '
в то время как между первыми интегралами
и' = const, u'2 = const
существует нелинейная зависимость. При этом дело идет об элементарном
случае, когда Ли, Ах не содержат производных от и *).
§ 4. Обращение в случае бесконечной группы
Прежде всего покажем, что допущение линейности Ах и Аи не представляет
собой никакого ограничения ; это и без использования обращения вытекает
из того факта, что (c)оое формально зависит от q и только от е произвольных
функций. Именно, можно показать, что в случае нелинейности при сложении
преобразований, при котором члены низшего порядка суммируются,
увеличилось бы число произвольных функций. В самом деле, пусть
у = А (х, и, ~,..., р) = х + v а (х, и,...) р* + b (х, и, ...) р*-1 +
+ (/ёТ + • • • + d (1гГ + •••> [pv±= (Р(1)Уг + • • • + 0
и соответственно
V - В U, , . . . , pj ,
тогда путем сложения с
z = A{y,v,-.........?)
мы получаем для членов низшего порядка
г = х + 21 а (рг-+ <Г)+ Ъ {р-^ + |L} + с {^. +...
Если здесь какой-либо коэффициент, отличный от а и Ь, не равен нулю,
следовательно, для какого-либо а > 1 действительно встретится член
то его нельзя рассматривать как производную отой-единственной функции или
как произведение степеней таковой; следовательно, число произвольных
функций возросло по сравнению с предположенным. Если же исчезают все
коэффициенты, отличные от а и Ь, то в зависимости от значений показателей
г,,..., ve могут представиться два случая : либо второй член является
Предыдущая << 1 .. 276 277 278 279 280 281 < 282 > 283 284 285 286 287 288 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed