Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
595
Теперь мы применяем теорему II к инварианту L и получаем
ЯтР&У-
(15)
2 {ГтРт + g""^) - 2' Ц ЧтР? - 2 -§t(<lsmPF + qmkP? + qmP?i) = 0.
fiyV,m " s,m 4 s,fc,m 4SK
Приравнивание нулю коэффициентов при pfk слева дает уравнение
{ SL дь л _ п I 9 qA + 9 qks I ~ U '
ИЛИ
dL . dL n . .
+ 9^=°- (16>
^9 qSk dqks
т. e. производные электродинамических потенциалов qs входят в комбинации
Mks tfsk tfks-
Таким образом, мы приходим к тому, что при наших допущениях инвариант L,
кроме потенциалов g,l\ qS) зависит только от компонентов
кососимметричного инвариантного тензора
М = (Mks) = Rot (qs),
т. е. так называемого электромагнитного шести-вектора. Этот результат,
которым только теперь определяется характер максвелловых уравнений,
получается здесь, по существу, как следствие общей инвариантности, т. е.
на основе аксиомы II.
Если в тождестве (15) положить коэффициент при р"т слева равным нулю, то,
пользуясь уравнением (16), мы получим
22^1Г-^<1.-2т^М" = 0 (,= 1,2,3,4). (17)
Это уравнение позволяет сделать важное преобразование электромагнитной
энергии, т. е. происходящей от L части вектора энергии. Именно, зта часть
получается следующим образом из уравнений (11), (13), (14):
, J _ V ' _J_ -у 8 UbfgL _ d^~gL\psq \
LP dquPk 2VgiHdwk\{ aqlk dqkl Г '*J *
В силу соотношения (16), принимая во внимание уравнения (5), этому
выражению можно придать вид
(61 = 0, 1фз; ё:=1). (18)
Это выражение на основании уравнения (17) равно
~Теё1^Г'г-. <НЧ
На основании формул (21), которые будут выведены дальше, отсюда можно, в
частности, усмотреть, что электромагнитная энергия, а вместе с тем и
полный вектор энергии могут быть выражены только через К, так что сюда
войдут только g"" и их производные, но не qs и их производные. Если в
выражении (18) перейти к пределу, полагая
Sf,i> - 0 (м =f= v), - 1 ,
38*
то это выражение в точности совпадает с тем выражением, которое Ми ввел в
своей электродинамике : электромагнитный тензор энергии Ми есть не что
иное, как инвариантный тензор, получающийся путем дифференцирования
инварианта L по потенциалам тяготения gfiv при указанном переходе к
пределу. Это обстоятельство впервые указало мне на необходимость
существования тесной связи между общей теорией относительности Эйнштейна
и электродинамикой Ми и дало мне доказательство справедливости развитой
здесь теории.
Остается еще непосредственно показать, принимая
Н - К -\- L, (20)
каким образом полученные выше обобщенные уравнения Максвелла (5)
вытекают из уравнений тяготения (4) в указанном выше смысле.
Если применить введенный перед этим способ обозначения вариационных
производных по g'"', то уравнения тяготения в силу равенства (20)
получают вид _
+ ^ = (2D
Первый член слева преобразуется следующим образом :
[TgK],v = rg{K",-~Kg,),
как легко получается непосредственно из того, что К",, помимо gfiv, есть
единственный тензор второго ранга и К - единственный инвариант, которые
могут быть получены исключительно из g''" и из первых и вторых
производных gf, gf,-
Получаемые таким путем дифференциальные уравнения тяготения созвучны, как
мне кажется, грандиозной теории общей относительности, выдвинутой
Эйнштейном в его последних работах*).
Если мы дальше, как и выше, вообще будем обозначать вариационные
производные от fg J по электромагнитному потенциалу qh через
\]Гд /1 _ dVeJ -у 9 эУ?7
НёЛл- 8qh ^ dwk dqhk >
то, на основании равенства (20) мы получим электродинамические уравнения
в виде
[fgL]h = 0. (22)
Но так как К есть инвариант, зависящий только от gfIV и их
производных,
то на основании теоремы III тождественно удовлетворяется уравнение (7),
где
is = 2[fgKUgf (23)
(XyV
и
ils = -22[UKUg"1 (р - 1 > 2, 3,4). (24)
№
На основании формул (21) и (24) выражение (19) равно - Путем
*) Berliner Sitzungsber., 1915, там же.
ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ (ПЕРВОЕ СООБЩЕНИЕ)
597
dMs,
дифференцирования по wm и суммирования по т мы получаем на основании
уравнения (7)
(- v* "¦+*+Ш. *-) -+
+ ^([У5Ц,-^)^ + 24|?
так как
эУ?^ = гу-г1 . у- э эУГ*.
9 qm Vg4m + *f 9Ws dqms
и
2 9 aVgL_nfcrl 9^^-m 9wm 9?sm 9# •
Теперь мы примем во внимание, что на основании уравнения (16)
Л^-о,
m,s 9lVm 9lVs 9 Qms
и тогда после соответствующих преобразований получим
г" = - + Ш fa" ^2 L]m) +
X1 9)7l , у dVgL 9Msv
^ "m 9?m /m'' ^ 1% dMsm dwm ' 1'
С другой стороны,
9fgL = у dfgL т ydYgL у 9 Kg L 9gmt
9wr ^ dgsm 8" 9?ш /mv ^ 99ms 9w, •
Первый член правой части на основании уравнений (21) и (23) есть не что
иное, как Последний член справа равен по абсолютной величине и
противоположен по знаку последнему члену правой части уравнения (25); в
самом деле,
V 9 TgL Г 9MS" dqms\ n
1% dMsm I 9Wm dw J ~ U ' ^
так как выражение
9Ms, 99niS 929"_______929s d2qm
9wm 9jv" - 9ws 9ivm 9iv" 9ivm 9iv" 9ws
симметрично, а первый множитель под знаком суммы в уравнении (26)
кососимметричен относительно sum.
Поэтому из уравнения (25) вытекает уравнение
2 [Mmv [fg L]m + qv -^т [fg L]m) = 0; (27)
