Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
одновременно решение задач Эйнштейна и Ми. Более подробное изложение
вопроса, и прежде всего специальное применение моих основных уравнений к
важнейшим вопросам учения об электричестве, я оставляю до более поздних
сообщений.
Пусть ws (s = 1, 2, 3, 4) - какие-либо координаты, существенно однозначно
определяющие мировые точки, так называемые мировые параметры (наиболее
общие пространственно-временные координаты). Величины, характеризующие
событие в ws, суть: 1) десять впервые введенных Эйнштейном гравитационных
потенциалов gMV (р, v - 1, 2, 3, 4), обладающих симметрично-тензорным
характером в отношении любого преобразования мировых параметров ws; 2)
четыре электродинамических потенциала qs, обладающих векторным характером
в том же смысле.
Физическое событие не произвольно. Для него всегда выполняются следующие
две аксиомы :
Аксиома I (аксиома Ми о мировой функции)***).
Закон физического события определяется мировой функцией Н, которая
зависит от следующих аргументов:
должна быть равна нулю для любого из 14 потенциалов g,", qs.
*) Sitzungsber. d. Berliner Akad., 1914, стр. 1030; 1915, стр. 778, 799,
831, 844.
**) Ann. d. Phys., 1912, т. 37, стр. 511 ; т. 39, стр. 1 ; 1913, т. 40,
стр. 1.
***) Мировые функции Ми зависят не в точности от этих аргументов; в
частности, применение аргументов (2) восходит к Борну; однако как раз
введениеи применение подобной мировой функции в принципе Гамильтона
характерны для электродинамики Ми.
giiv, gtivi- > gmk- dw[dwk (H,l - 1,2, 3,4),
(0
(2)
Вариация интеграла
JHfgdm, где g = \ g">r \, dco = dwt dw2 dw3 dw4,
590
Д. ГИЛЬБЕРТ
Вместо аргументов (1) можно, очевидно, подставить также аргументы :
",#" а*' = ы., _ *8" /оч
& ' ^1 bwi ' &lk bwi 8Wk ' '
причем g''" обозначает частное от деления на g минора определителя g,
соответствующего элементу g"".
Аксиома II (аксиома об общей инвариантности)*).
Мировая функция Н инвариантна по отношению к любому преобразованию
мировых параметров ws.
Аксиома II есть простейшее математическое выражение того требования, что
связь (die Verkettung) потенциалов gqs сама по себе совершенно не зависит
от способа, которым установлено соответствие между мировыми точками и
мировыми координатами.
Основой для построения моей теории служит математическое предложение,
доказательство которого я изложу в другом месте.
Теорема I. Если выражение J инвариантно по отношению к любым
преобразованиям и содержит п величин и их производных и если из условия
d$Jlfgdco = О
составить п лагранжевых вариационных уравнений для этих п величин, то в
этой инвариантной системе п дифференциальных уравнений четыре всегда
являются следствием п - 4 остальных, в том смысле, что всегда четыре не
зависящие одна от другой линейные комбинации этих п дифференциальных
уравнений и их полных производных тождественно удовлетворяются.
По отношению к частным производным по guv, g%v и gff, которые входят в
формулы (4) и в следующие формулы, раз навсегда заметим, что в силу
симметрии индексов /л и v, с одной стороны, и индексов k, I - с другой,
частные производные по g>" и gg" следует брать с коэффициентом 1 или
смотря по тому, будет ли соответственно /л = v или /л ф v ; далее,
частные производные по g'kl следует брать соответственно с множителями 1,
1/2 и 1/4 в зависимости от того, какой из трех случаев имеет место : /л =
v и к - I, р = v и к ф / или рфу и к = I, или, наконец, р фу и кф I.
Из аксиомы I получаются прежде всего в соответствии с десятью
гравитационными потенциалами gдесять дифференциальных уравнений Лагранжа
Д"- У--Vi*L+y. 82 ЁИЛ = о (р,г = 1,2,3,4), (4)
dgnv ^ дщ dgp Т ^ dwkdw, dgff ^
а затем в соответствии с четырьмя электродинамическими потенциалами qs
четыре дифференциальных уравнения Лагранжа:
Щ&-- 2-w-^^- = 0 (й = 1,2, 3,4). (5)
8qh ф? Owk dqh v ' v 7
Для сокращения обозначим левые части уравнений (4), (5) соответственно
через
[Угя]",, Шн]".
Уравнения (4) можно назвать основными уравнениями тяготения, урав-
*) Требование ортогональной инвариантности выдвинул уже Ми. В только что
сформулированной аксиоме II основная мысль Эйнштейна об общей
инвариантности находит свое простейшее выражение; впрочем, у Эйнштейна
принцип Гамильтона играет только второстепенную роль, и его функции Я
никоим образом не являются общими инвариантами и не содержат
электрических потенциалов.
ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ (ПЕРВОЕ СООБЩЕНИЕ)
591
нения (5) - основными электродинамическими уравнениями или обобщенными
уравнениями Максвелла. На основании выдвинутой выше теоремы мы можем
четыре уравнения (5) рассматривать как следствие уравнений (4), т. е.
непосредственно на основании этого математического предложения мы можем
высказать утверждение, что в указанном смысле электродинамические тления
суть следствия тяготения. В этом результате я вижу простое и
поразительное решение проблемы Римана, который первым пытался установить
теоретически связь между тяготением и светом.
В дальнейшем мы будем пользоваться тем легко доказываемым фактом, что
