Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
если pi (/ = 1, 2, 3, 4) обозначает произвольный контравариантный вектор,
то выражение
= 2 (gГ Ps - g"s Ps - g"s Ps) (Vi = -^) представляет симметричный
контравариантный тензор, а выражение
Pt = IiQisPs + qsPi)
s
- ковариантный вектор.
Далее мы устанавливаем две математические теоремы, которые гласят
следующее:
Теорема II. Если J есть инвариант, содержащий величины gpr, gtv, gtn <ls>
Qsk, то Для всех аргументов и для любого произвольного контра-вариантного
вектора ps имеет место следующее тождество:
? <-?лгчг+" и+а' at
Р-.
где
4^ = 2 С?'"'" Pm + g"m Pm) ,
4f=-2fmPr + ^,
4% =-2 fe Plk + gtVm Pf + glm Pf) + >
4s = - 2' PT > m
/!?,"=-2'?.mp? + 4t-
Эту теорему можно сформулировать также следующим образом :
Если J есть инвариант, a ps, как и раньше, - произвольный вектор, то
имеет место тождество
24,? = pJ-
Здесь положено :
Р Pg + Pq >
9 , 9 , Э
Pg dg^ + Pf dgf +РГк ЬёГк.
Pq = 1? (Рг Ж + Plk~4") '
причем введены следующие сокращенные обозначения:
_ 9ре" _ 9V _ dpi
Pki - п.. - -
592
Д. ГИЛЬБЕРТ
Доказательство соотношения (6) получается легко ; в самом деле, очевидно,
что тождество справедливо, если ff есть постоянный вектор, а отсюда
вследствие инвариантности этого тождества вытекает его справедливость
вообще.
Теорема III. Если J есть инвариант, зависящий только от (f и их
производных, и если, как и выше, обозначить вариационные производные от
Yg J по g'" через [YgJ],^, то выражение
где под tf" понимается любой контравариантный тензор, есть инвариант;
если в этой сумме вместо поставить некоторый особый тензор р'" и написать
2[VgJUP' = Z(isPs + ilfl),
fi,v S,l
где выражения
i, = 2[ViJ]r'&', il, =-2 Zffi JUgT1
fx,v ц
зависят только от guv и их производных, то равенство
'•-2^ <о
имеет место тождественно для всех аргументов, именно для g^ и их
производных.
Для доказательства рассмотрим интеграл
§J][gdm' (dm = dw1dw2dwsdwt),
который распространяется на некоторую часть четырехмерного мира. Далее,
пусть jf будет вектор, который обращается в нуль вместе со своими
производными на трехмерной поверхности рассматриваемой части мира. Так
как
P = Pg,
то из формулы
р№н) = П2^р- + "2(^р- + П1Л)-2Щ^,
которая будет выведена дальше (см. стр. 594), следует:
РЛГеЛ = 2Щ&-,
S О Its
откуда получается
^Pg(JV~S)dco = 0,
а вследствие способа образования лагранжевой производной - также и
следующее:
\2[fgjUPliVdm = 0.
Наконец, введение в это равенство величин is, i's показывает, что
а потому утверждение нашей теоремы справедливо.
ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ (ПЕРВОЕ СООБЩЕНИЕ)
593
Важнейшей нашей целью теперь являются установление понятия энергии и
вывод теоремы энергии на основе только двух аксиом I и II.
Для этого мы сначала образуем выражение
Р,ОГаК)= ^ | дУ%Н | $TgH '
[ds^p + 6gf р,!
О дн
Здесь есть смешанный тензор четвертого ранга, и потому, если поло-
жить
Af = pf + 2 (f/} Pev + {V} Pe") '
{* P} = \ 2 8* (ёк°е + ge*k - gw) ,
то выражение
"'-2^-лг (8)
fl,v,k О(r)
представит контраградиентныи вектор. Поэтому, если образовать выражение
то оно больше не будет содержать вторых производных pfh а потому будет
иметь вид
\fg + В'^РГ),
n>v>k
где
dк _ у ( 9Н 9 5/Г дН [I ц\ дН (/уП
_ Тх ГЭС dw, dgfi дф I Р J dg§ 1 p ))
есть также смешанный тензор. Теперь образуем вектор
bl=2B[vp^ (9)
и тогда получим
Pg()rsv) - 2d1g{iw}bl) = 2 [ТёЩ^Г- (Ю)
С другой стороны, мы образуем выражение
дН
тогда есть тензор, а выражение
к
представляет контраградиентный вектор. Соответственно подобно предыдущему
р,(Г<,н)-^Щ^-=У\Ген)кРк. .02)
38 Вариационные принципы механики
594
Д. ГИЛЬБЕРТ
Если принять теперь во внимание основные уравнения (4) и (5), то путем
сложения равенств (10) и (12) мы находим
Но .
p(fgH)= 1rgPH + н = + н + Tgfi)>
и поэтому, в силу тождества (6),
Р(т-П2^? + н2{Щр- + т) = 2Щ^
Таким образом, мы получаем, наконец, инвариантное уравнение ' ^-щ-ГЦНр1 -
а1 -Ь1 -е1) = 0.
Теперь мы принимаем во внимание, что
9 н __ д н dqik dqkt
есть кососимметричный контравариантный тензор ; вследствие этого
^ = н \ jfqX- (]3)
2Tg м dWs ^ dqik dqkl ' >
будет контравариантный вектором, который, очевидно, удовлетворяет
тождеству
Если мы теперь определим
е' = Нр1 - а' - Ь1 - с1 - d' (14)
как вектор энергии, то вектор энергии есть контравариантный вектор,
который зависит линейно от произвольного вектора р? и тождественно, при
любом выборе этого вектора jf удовлетворяет инвариантному уравнению
энергии:
о.
t 9 wi
Что касается мировой функции Н, то для того, чтобы ее выбор сделался
однозначным, нужны дальнейшие аксиомы. Если уравнения тяготения должны
содержать только вторые производные от потенциалов g"', то функция Н
должна иметь вид
H = K + L,
где К обозначает инвариант тензора Римана (кривизна четырехмерного
многообразия):
К = 2 Г ,
к" -2{-ь {'¦;! - {";})+§ (М {*;} - {7} {7}) ¦
a L зависит только от величин g'jy, gf, qs, qsk. В дальнейшем мы сделаем
упрощающее допущение, что L не содержит
ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ (ПЕРВОЕ СООБЩЕНИЕ)
