Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, опять-таки наикратчайшую линию.
Характерно, что принцип наименьшего действия, даже после того, как он был
полностью узаконен в механике Лагранжем, не оказал никакого существенного
практического влияния на научный прогресс. Его рассматривали скорее как
математический курьез, как интересный, но излишний придаток к ньютоновым
законам движения. Еще в 1837 г. Пуассон смог назвать его "лишь
бесполезным правилом". Только после исследований Томсона и Тэта, Г.
Кирхгофа, К. Неймана, Л. Больцмана и др., когда оказалось, что принцип
наименьшего действия является инструментом, отлично используемым для
разрешения проблем гидродинамики и теории упругости, в то время как
другие математические методы частью оказались более неуклюжими, частью
вовсе отказывали, был подготовлен перелом и начали ценить эвристическое
значение принципа. Томсон и Тэт сказали об этом (1867 г.): "знаменитый
принцип наименьшего действия Мопертюи до сих пор рассматривался скорее
как странное и несколько запутанное свойство движения, чем как полезное
руководство в кинетических исследованиях. Но мы твердо убеждены, что ему
придадут гораздо более глубокое
586
М. ПЛАНК
значение не только в абстрактной динамике, но и в теории многих отделов
физики, которые в настоящее время начинают получать динамические
объяснения".
Правда, оказалось также, что в применении принципа надо соблюдать
величайшую осторожность, дабы не впасть в ошибку, а именно при
формулировании условий для возможных перемещений. Так, например, применяя
принцип наименьшего действия к движению твердого тела в жидкости при
отсутствии трения и вращения, недостаточно оставить неизменными начальное
и конечное положения твердого тела; необходимо оставить без изменений
также начальное и конечное положения всех частиц жидкости. Ошибку другого
рода сделал Г. Герц, когда он во введении к своей механике применил
принцип наименьшего действия к движению шара, катящегося по
горизонтальной плоскости, и при этом для возможных перемещений поставил
условия, недопустимые для неголономной системы. Заслуга разъяснения этого
обстоятельства принадлежит в первую очередь О. Гёльдеру и А. Фоссу.
Однако только тогда непосредственное, основное значение принципа
наименьшего действия получило всеобщее признание, когда оказалось, что он
применим также и к таким системам, механизм которых или вовсе не
известен, или настолько сложен, что свести его к обычным координатам
невозможно. После того как J1. Больцман и позже Р. Клаузиус установили
тесную связь принципа наименьшего действия со вторым началом
термодинамики, Г. Гельмгольц (1886 г.) дал впервые наиболее полно
охватывающее, систематическое сопоставление всех в то время возможных
применений принципа в трех больших областях физики - в механике,
электродинамике и термодинамике. Эти применения поражали своей
многосторонностью и полнотой.
Для своих расчетов Гельмгольц избрал гамильтонову форму принципа как
наиболее удобную, снабдив ее некоторыми дополнениями, скорее формального
характера. Величину, интеграл по времени которой представляет действие
Гамильтона, он назвал "кинетическим потенциалом". При этом, однако, он
еще сохранил предпосылку, что принцип наименьшего действия по существу
является механическим; но это ограничение в его анализе уже несколько
отступило на задний план, так как при рассмотрении многих систем,
например гальванических токов, магнитов, ему не надо было входить в
рассмотрение их специальных механических свойств. Зато Гельмгольц уже
тогда предпринял решительный шаг, заключающийся в том, что кинетический
потенциал он не стал выводить из энергии как разность кинетической и
потенциальной энергий, что делалось до него, а, наоборот, взял за оонову
кинетический потенциал в качестве первичной величины и из него определил
как все другие законы движения, так и величину энергии.
Результатом этого нового способа рассмотрения оказалось, главным образом,
значительное, бросающееся в глаза, обобщение. А именно : кинетический
потенциал в противоположность энергии отличается не только своей
аналитической формой, но и своей величиной, в зависимости от выбора
независимых переменных. Привожу пример: используя некоторые уравнения
движения, можно с их помощью соответственно сокращать число независимых
переменных. Тогда исключенные переменные совсем исчезают, они
соответствуют так называемым скрытым движениям. В каждом таком случае
кинетический потенциал принимает другую величину, и этим объясняются,
например, разнообразные выражения потенциала, с которым сталкиваются в
термодинамике, в зависимости от выбора независимых переменных. Гельмгольц
показал, как эти различные выражения связаны между собой
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
587
и как они вытекают одно из другого. Он показал также, что кинетический
потенциал может принимать такую форму, в которой он уже больше не
представляет собой разности кинетической и потенциальной энергий. Это
