Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
V = -A^. (12.3)
Тогда полная энергия E для неизотермического процесса должна иметь вид
E = Lp + Q = const. (12.4)
Если же для рассматриваемой модели изменение работы
внутренних сил не может выражаться полным дифференциалом,
как это имеет место для упругой модели (10.41), то закон сохранения энергии естественно представить в дифференциальной форме
dE = -8A{i) + SQ, (12.5)
где E называется внутренней энергией, которая зависит от температуры T и других термодинамических параметров состояния (например, от некоторых тензоров і = 1,2,...). Внутренняя
энергия есть работа, которую надо совершить, чтобы перевести систему ИЗ ОДНОГО СОСТОЯНИЯ Т(°\ В Другое T^1), lif\
Периодически действующее устройство для превращения тепла в работу — тепловая машина — может работать только
138
Лекция 12
при наличии различных температур и С её помощью
можно создать термодинамический цикл. Тогда из (12.5) следует, что г ГГ
OdE = O, oSA{i)=o5Q, (12.6)
ИЛИ
A(l) = Q. (12.7)
Отсюда следует ещё одна формулировка первого закона термодинамики: невозможно создать вечный двигатель первого рода — машину, которая могла бы совершить механическую работу, не затрачивая энергии.
Ещё одна формулировка первого закона термодинамики, говорящая об эквивиалентности тепла работе, следует из размерности величины Q:
[Q] = 1 кал « 4,186 Дж, (12.8)
причём 10-7Дж = 1 эрг = 1 см2 • г/с2. Калория, джоуль и эрг служат для измерения Q.
Для того чтобы более чётко проследить действие законов термодинамики на конкретной модели, выберем в качестве таковой модель совершенного газа [4,62]. Для него определяющее соотношение записывается в виде уравнения состояния Клапейрона
P = pRT, (12.9)
где R — газовая постоянная, которая для воздуха равна R « 287,042 м2/(с2 • град). Иногда вместо величины R вводят другие постоянные, следующие из соотношений
Д=^ = А; (12.10)
Mq TUq
где Mq — средняя масса одной грамм-молекулы газа, то — средняя масса молекулы в граммах, Rq « 8,314 • 107эрг/(моль х х град), Zc0 ~ 1,38 • IO-16эрг/град — постоянная Больцмана. Тогда уравнение состояния (12.9) записывается в одной из двух следующих форм:
pv = RqT (12.11)
или
pv = kT, (12.12)
где
V = —, „==», V=Ii, N = — = 6,023• IO23. (12.13)
р р JS то
Число N называется числом Авогадро.
Первый закон термодинамики
139
Используя последнее из соотношений (12.2) и принимая объём, по которому происходит интегрирование, конечным, HO настолько малым, что внутри него величины р и р неизменны, получим
5A(i) = ppVd-. (12.14)
P
Учитывая первое соотношение (12.13), из которого следует, что
M0 d- = dV, P
(12.15)
имеем для совершенного газа
SA{i)=pdV. (12.16)
Тогда из формулировки (12.5) первого закона термодинамики получим
SQ = dE + pdV. (12.17)
Нам будет удобнее пользоваться уравнением состояния совершенного газа в форме (12.11). Из (12.11) следует, что изотермы описываются уравнением (рис. 42)
pV = const. (12.18)
Можно ввести шкалу температур совершенного газа, полагая температуру равной pV/Ro вдоль изотермы одного моля такого газа.
Однако в дальнейшем при формулировке второго закона термодинамики будет ясно, что понятие температуры не должно зависеть от свойств среды.
Теплоёмкость с системы равна количеству тепла AQ, которое нужно подвести к системе, чтобы повысить её температуру на AT при заданных условиях:
r AQ с = Iim -.
AT^о AT
(12.19)
Если при этом поддерживается постоянный объём, то из (12.17) имеем
'OEs
140
Лекция 12
При p = const из (12.19) и (12.17) следует
В силу того что термодинамические параметры состояния р и V связаны соотношением (12.17), внутреннюю энергию E для совершенного газа можно выразить в виде функции двух параметров состояния: либо E = Е(р,Т), либо
E = E(V9T). (12.22)
Заметим, что этот факт справедлив не только для совершенного газа, но и для газа, подчиняющегося более общему уравнению состояния
f(p,V,T) = 0. (12.23)
Из (12.22) имеем
(дЕ\ (8Е\ (дЕ\ fdV\ ,100/1.
{ат)р-\вт)у+{ду)т{дт)р ( ¦ >
Используя (12.24), из (12.20) и (12.21) получим
С -С = (d^] +Р(1--(™) =
р V \дт)р + Р{дт)р [дт)у
(12.25)
дТ / ‘
V / P
Чтобы исследовать зависимость внутренней энергии от объёма, Ж.Ф. Гей-Люссак в 1802 г., а позднее Дж. П. Джоуль провели опыты, в которых газ свободно расширялся, переходя из одного сосуда в другой. В этих опытах было установлено, что
If),=°- (12-2б>
Это оказалось ошибочным для газа с уравнением состояния (12.23), но было принято как одно из определений
совершенного газа. Из (12.24) и (12.26) следует, что
E(V9T) = Е(р9Т) = E(T). (12.27)
Таким образом, термодинамическая модель совершенного газа задаётся термодинамической функцией состояния (внутренней энергией) в виде
E = CvT + const. (12.28)
Первый закон термодинамики
141
Из (12.25) и (12.26) для такого газа следует формула Майера
(12.29)
Сделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент “1” объём, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис. 43), равен V\. Давление, при котором поршень находился бы в равновесии, равно RoT
