Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в некоторой задаче механики определяемая величина Y каким-то образом зависит от к определяющих парамет-ров Х{,... ,Xk:
Y = f(Xu...,Xm,Xm+l,...,Xk), (11.13)
причём Х\,..., Xm (0 ^ т ^ к) — величины с независимыми размерностями. Выразим через них размерности величин XmJr1> • • • > Xk, Y.
( [Хт+і] = [Хі]ат+ІЛ •... • [Хт\ат+^т,
[Xk] = [X1]^ .....[Хгор™, (11Л4)
I [Y] = [Xi]ai ¦ ¦¦¦ ¦ [Хт]ат,
и перейдём следующим образом к безразмерным переменным (,критериям) Пі,..., Щ-т, П:
TT _ Хт+\ т г _ Xk
ilI — T^aw+1 і ™ ’ * * * ’ llk-m ~
ЛГат + \,\ ЛГат + \,т ’ * * * ’ К — ТП Vc^km ’
A1 -...-Am ^i
п= у
X*' •... • Х%г ¦
(11.15)
Соотношение (11.13) можно переписать в виде
п = 1 • /(X1,...,Xm,U1X?"+'-' •... • ...
Aj • . . . • Am
..., Uk.mXf' ..... XZkm) =F (X1,..., Xm, Пі,..., Щ_го).
(11.16)
Согласно доказанной ранее лемме об унарном выборе независимой размерности существует функция Ф, зависящая уже не от к, а от к — m переменных, такая что
П = Ф(Пь...,Щ_т). (11.17)
128
Лекция 11
Подставляя последнее соотношение (11.15) в (11.17), получим с учётом (11.13), что функция / обладает следующим свойством:
Это важное свойство носит название обобщённой однородности функции /.
Тем самым доказана П-теорема, являющаяся ключевой в теории размерностей [6,51]. Сформулировать её можно так.
П-теорема теории размерностей. Пусть существует физическая закономерность, выраженная зависимостью некоторой величины от к, вообще говоря, размерных определяющих параметров. Тогда данную зависимость можно представить в виде обобщённой однородности, т. е. в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных определяющих параметров, число которых меньше к на число определяющих параметров с независимыми размерностями.
Формулировка и доказательство настоящей теоремы в литературе приписывается Э. Букингему. Заметим лишь, что его работа [63] по данному вопросу опубликована несколько позже, чем не получившая всемирной известности работа [60] русского математика и инженера А. Федермана.
С помощью П-теоремы можно, не решая начально-краевой задачи и даже не располагая математической моделью явления, только из соображений размерности выводить зависимости одних физических величин от других. Так, выдающийся немецкий учёный Г. Герц, проводя анализ размерностей в задаче о контактном взаимодействии двух упругих тел, получившей в последствии его имя, вывел зависимость размеров площадки контакта, а также максимального давления на ней от силы сдавливания тел. Точное решение контактной задачи блестяще подтвердило результаты Герца.
Приведём ниже три примера, иллюстрирующие применение П-теоремы в самых разных областях механики [2, 51].
Задача о математическом маятнике. На рис. 39 изображён математический маятник, период малых колебаний T которого является определяемой величиной. Из физического смысла следует, что T может зависеть от массы т материальной точки,
f(Xu...,Xk) = Xf-...-XSr X
Xt _________Xm+l
(
1,1
Размерности физических величин
129
длины I невесомого стержня, величины ускорения д силы тяжести и угла Oq начального отклонения. Все эти параметры следует считать определяющими независимо от того, действительно ли зависит от них T или нет.
По аналогии с соотношением (11.13) запишем
T = к = 4, (11.19)
и будем придерживаться описанной ранее схемы. Размерности всех параметров задачи следующие: [га] = М, [/] = L,
[д] = LT-2, [9q] = 1; [Т] = Т. Параметров с независимыми
размерностями три (га = 3): Х\ = га, X2 = /, Х% = д.
Выразим [:T] через [га], [/], [д] в виде степенной функции: [Т] = [m]a'[l]a2[g]a\ (11.20)
приравняем показатели при М, L и T в (11.20) и придём к неоднородной системе трёх линейных уравнений с тремя неизвестными а\, а2, а%:
0 = а\,
0 = Ol2 + с^з,
1 = -2а3.
Решение этой системы таково: а\ = 0, а2 = 1/2, а% = —1/2.
Таким образом, в силу безразмерности начального угла и того, что [Т] = [га]0[/] 1Z2[^]-1Z2, критерии Пі и П имеют следующий вид:
Пі =6>о, П =
\[Щ
П-теорема утверждает, что искомая связь (11.19) эквивалентна соотношению П = Ф(Пі), или
Т=^Ф(в0), (11.21)
где Ф — некоторая функция всего одного (а не четырёх, как /) аргумента (к — га = 4 — 3 = 1).
Из формулы (11.21) уже видно, что период малых колебаний не зависит от массы материальной точки. Осталось определить функцию Ф(во). Это достигается с помощью ряда опытов с математическим маятником, в которых необходимо изменять только
9 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
130
Лекция 11
один параметр — начальную амплитуду Oq (9q <С 1) — и измерять тоже только одну величину — период Т. Длина I и ускорение д для всех таких опытов постоянны, поэтому их надо померить один раз.
Опыты дадут с достаточным приближением: Ф(6о) = 2тт. Малые колебания математического маятника оказываются изохронными, и такой маятник применим для измерения промежутков времени. Наоборот, если период T известен, то по формуле д = = Att2I/T2 определяется ускорение свободного падения в данной области пространства. Мысль об изохронности малых колебаний впервые пришла в голову Г. Галилею, когда он наблюдал в Флорентийском кафедральном соборе за качаниями паникадила.
