Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Лекция 11
СГС и СИ принадлежат одному классу, называемому {MLT}. Именно к этим системам относится приведённый пример с двумя первыми размерностями плотности р. В другой известный класс {FLT} входят системы, где основными служат единицы измерения силы, длины и времени. К этому классу относится третья размерность плотности р в примере.
Размерностью [X] физической величины X называется функция, определяющая, во сколько раз изменяется численное значение этой величины X при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса. Безразмерными же будут величины, численные значения которых одинаковы во всех системах единиц измерения данного класса.
Выберем в классе {MLT} две системы единиц измерения и выразим размерность [X] физической величины X в этих системах. Согласно определению размерности
где Xi — численное значение величины X в системе с номером г. Пользуясь тем, что все системы внутри данного класса равноправны, можно принять за исходную первую систему. Тогда в силу определения безразмерной величины
Сравнивая (11.1) с (11.2), получим функциональное уравнение
Для его решения продифференцируем обе части (11.3) по М\ и положим после этого Mi= M2 = M, Li=L2 = L, Ti — Т2 = T :
Обозначая a = (dip/dM)(l, I, 1) и интегрируя по M дифференциальное уравнение (11.4), будем иметь
X = X^(MbLbTi) = X2^M2, L2, T2), (11.1)
(11.2)
ip(M\,L\,T\) ip(M2, L2, T2)
(11.3)
(11.4)
ip(M,L,T) = Ma^(L,T),
(11.5)
где ip — произвольная функция своих аргументов.
Размерности физических величин
125
Подставим (11.5) в (11.3) и выпишем функциональное урав-
т. е. уравнение, отличающееся от (11.3) только тем, что у функции ф на один аргумент меньше, чем у Lp. Повторяя ещё два раза такие же рассуждения, придём к тому, что Lp является степенной функцией по отношению ко всем своим аргументам:
Формулой (11.7) представлено утверждение леммы о степенном выражении размерности.
Лемма (о степенном выражении размерности). Размерность любой физической величины представляет собой степенной одночлен.
Это означает, например, что никакая величина не может иметь размерность sin кг или м2 + с.
Говорят, что величины Xi,..., Xk имеют независимые размерности, если размерность ни одной из них нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Ни одна из размерно независимых величин, например Xi, не может быть безразмерной, иначе можно было бы представить
Докажем далее важную лемму об унарном выборе независимой размерности. Для общности изложения будем действовать в классе систем единиц измерения {М\ ... Mn}, п ^ 1.
Лемма (об унарном выборе независимой размерности) [2]. Всегда можно перейти от исходной системы к некоторой другой системе того же класса, так чтобы любая из размерно независимых величин Xi,...,Xk, для определённости Xi, увеличила своё значение в произвольное число А раз, а все прочие остались бы неизменными.
Действительно, пусть в исходной системе единиц измерения
нение для ф:
(11.6)
ip(M,L,T) = CMaL13T1, С = const. (11.7)
[X1] = [Xa]0, а = 2,...,к.
[Xi] = М“*' •... • М“‘", O21 + ... + а2іп > О, і =X,...,к,
(11.8)
а в разыскиваемой
[X1] = A(QlMl)a^ ¦...-(QnMn)a^,
[Xi] = (QlMi)0* . ....(qnMn)a^, і = 2,..., к,
(11.9)
126
Лекция 11
причём числа 0? (г = I,..., k; j = 1,..., п) известны, a qj надо найти. Сравнивая (11.8), (11.9), получим систему к уравнений относительно п неизвестных. Логарифмируя каждое уравнение, выпишем получившуюся систему к линейных уравнений относительно Ingi, ... , Ingn
Поскольку в классе {Mi ... Mn } максимальное число величин с независимыми размерностями равно п, т. е. к ^ п, исследуем два случая.
а) к < п. Как следует из (11.8), в любой строке матрицы (oLij), в том числе и в первой, имеется хотя бы один ненулевой элемент. Поэтому система (11.10) будет иметь решения всегда, кроме случая, когда первая строка матрицы (а^) есть линейная комбинация остальных к — 1 её строк:
Потенцируем первое равенство (11.11) по основанию Mi (другими словами, возведём Mi “в обе части первого равенства (11.11)”), второе по основанию M2 и так далее, наконец, последнее — по основанию Mn. После этого перемножим получившиеся п равенств и получим
[Xi] = М“п •... • М“‘" = (М“21 •... • • ... X
X ... • (М“ы •... • М%кп)Ск = (?]°2 •... • [Хк]с\ (11.12)
что противоречит определению независимых размерностей величин Xi. Предположение о несовместности системы (11.10) оказалось неверным.
б) к = п. Система (11.10) не будет иметь решений, если определитель матрицы (а^) равен нулю. Так как в любой её строке, в том числе и в первой, есть хотя бы один ненулевой элемент, остаются справедливыми рассуждения пункта (а).
(11.10)
а\\ — С2а2\ + ... + C^a^i,
(11.11)
а\п — С2а2п + ... + CkOikn-
Размерности физических величин
127
Таким образом, система (11.10) всегда имеет хотя бы одно решение, и существует набор чисел q\,...,qn, позволяющий перейти от исходной системы единиц измерения к искомой системе. В ней размерности величин Xi будут записываться в виде (11.9). Лемма доказана.
