Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Лекция 10
интегрирования соотношения (7.20) и, следовательно, является постоянной по времени величиной.
Пользуясь этим фактом, можно доказать теорему единственности решения динамической задачи теории упругости. Действительно, предположим, что существует два решения и' и и" динамической задачи в перемещениях. Для разности этих решений и = и" — и' имеем однородную задачу, а именно: однородные уравнения Ламе (F = 0)
Q^u ¦
р-г^г = (A + + /лАщ, (10.46)
однородные граничные условия (щ = 0, Sq = 0)
X Є Tu : и = 0,
(дщ \ (10.47)
х Є Ts : Xuk,kNi + /і ( + UjjNj J — 0
и однородные начальные условия (и0 = 0, V0 = 0)
Зїї
t = 0: и = 0, т^ = 0. (10.48)
Ot
Для рассматриваемой системы = 0 и из (10.45) и постоянства лагранжиана следует, что
/С CO + ?>(t) = /С(0) + <р(0). (10.49)
Ho кинетическая энергия JC (7.16), зависящая лишь от скоростей, в силу (10.48) равна нулю при t = 0, а при t > 0 неотрицательна. Потенциальная энергия Lp (10.43), зависящая от деформаций, также в силу (10.48) равна нулю при t = 0, а при t > 0 неотрицательна. Правая часть в (10.49) равна нулю, а следовательно, и
левая часть этого равенства в любой момент t равна нулю, т. е.
/С(i) = ip(t) = 0. Если упругие постоянные таковы, что квадратичная форма W(є) положительно определена, то все скорости и деформации в теле равны нулю, или
ж = Чг- (10'50)
В случае второй краевой задачи равенства (10.50) и заключают в себе теорему единственности. В случае первой либо смешанной краевой задачи из (10.50) дополнительно следует, что
Простейшие модели твёрдых тел
119
Рассмотрим одну из простей- a]V(6ok)
ших краевых задач статической iV(2) T iV(1)
теории упругости: растяжение- <-
-кг-------------yJX xI
Br-
— X
сжатие стержня (рис. 38). Пусть к торцам однородного стержня Рис. 38
с постоянным по длине круговым сечением площади S приложена продольная сила X = Хк\ на и —X = —Хк\ на Внешние нормали и
к обоим торцам и нормаль ЛДбок) к свободной боковой поверхности имеют компоненты = -N^ = Л^бок^ = 0, поэтому граничные условия (10.34) записываются следующим образом:
fe?(l),?es(2): Vii = ^Sn,
Е (10.51)
х Є ?(бок) : Oi2N2 + Oi3N3 = 0.
Поскольку на всей поверхности стержня задаётся вектор напряжений, данная задача является второй краевой задачей.
Решением уравнений равновесия (10.39) при отсутствии массовых сил, удовлетворяющим граничным условиям (10.51), будет, очевидно, поле напряжений
(7ц = — = CT0, (722 — ^33 = &\2 = ^23 = а3\ = 0. (10.52)
Этому полю напряжений согласно обратному закону Гука (10.25)
соответствует поле деформаций
CrO п
Єн = ^22 = ^33 = — —^lb ^12 = ^23 = ^31 = 0.
(10.53)
Из (10.53) выведем механический смысл технических постоянных E и ZA Модуль Юнга E есть коэффициент пропорциональности между растягивающим (сжимающим) напряжением сто и продольной деформацией е\\ при одномерном растяжении-сжатии стержня. Коэффициент Пуассона v, взятый со знаком “минус”, есть коэффициент пропорциональности между поперечной Є22 и продольной е\\ деформациями при одномерном растяжении-сжатии стержня. Если сила X растягивающая (X >0), то из физических соображений ясно, что стержень удлиняется, т. е. е\\ > 0, а если сжимающая (X < 0), то стержень укорачивается, т. е. е\\ <0. Таким образом, модуль Юнга — величина положительная, неравенства (10.30) для реальных
120
Лекция 10
упругих материалов невыполнимы и условиями положительной определённости W(є) и w(a) будут неравенства (10.29).
Задача теории упругости может быть сформулирована не только в перемещениях, но и в напряжениях. Это бывает более удобно, если на границе тела заданы нагрузки.
Рассмотрим, как и ранее, область V, занимаемую линейно упругим телом, с замкнутой границей Е. Трёх уравнений равновесия в V относительно шести компонент тензора напряжений а недостаточно для замыкания системы. Попытаемся её замкнуть. Для этого воспользуемся уравнениями совместности в виде (5.51).
Подставим в уравнения (5.50) выражения обратного закона Гука (10.25) для изотропной среды и после некоторых преобразований придём к шести уравнениям совместности уже в компонентах тензора напряжений:
(I + is) Aaij + Satij = SuAaSij + (1 + v){aik>kj + ajkM). (10.54)
Из уравнений равновесия следует, что = —pFij; crjk,ki =
= —pFjj. Таким образом, правую часть (10.54) можно выразить через F:
3 и
Aaij + ^ij = ~ \ ^ ^divF ~ PiFiJ Fj,і)- (10.55)
Получены недостающие для замыкания системы уравнения в области. Они носят название уравнения Белътрами-Мичелла 0 .
Классическая постановка квазистатической задачи теории упругости в напряжениях [3, 61] состоит в решении трёх уравнений равновесия и шести уравнений Бельтрами-Мичелла (10.55) в области V относительно шести компонент Gij при удовлетворении трёх граничных условий:
щ(а)\Еі = и°, OijnjIz2 = S°. (10.56)
Уравнения Бельтрами-Мичелла (10.55) были получены для замыкания трёх уравнений равновесия в области V относительно шести компонент Gij. Однако самих уравнений (10.55) всего шесть, и, таким образом, в V имеются теперь девять уравнений относительно тех же шести неизвестных функций. На границе области E выполняются всего три условия (10.56).
