Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
О Так же как и (10.54), в литературе их часто называют уравнениями совместности в напряжениях.
Простейшие модели твёрдых тел
121
Б.Е. Победря создал новую постановку задачи в напряжениях, которая лучше приспособлена для использования численных методов [40]. В ней для разыскания шести независимых компонент тензора напряжений решается шесть обобщённых уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть: к трём условиям (10.56) добавляются три уравнения равновесия, перенесённые на границу области Е.
He будем здесь останавливаться на подробном анализе “новой” постановки задачи теории упругости в напряжениях, её преимуществе при численных решениях, направляя читателя к монографии [44].
Заметим только, что в литературе давно предпринимались попытки сократить число независимых дифференциальных уравнений совместности в напряжениях с шести до трёх. К сожалению, такие попытки предпринимаются и теперь. В [9] приведены контрпримеры, демонстрирующие, что при таком сокращении нарушается корректность постановки задачи в напряжениях.
Итак, для односвязного тела в трёхмерном евклидовом пространстве существует шесть функционально независимых дифференциальных уравнений совместности деформаций (а значит, и напряжений) для существования однозначного поля перемещений. Этот чисто геометрический факт и связан он с тем, что тензор кривизны Римана [48] в трёхмерном пространстве имеет шесть независимых компонент.
До сих пор в этой лекции изучалась линейная упругая среда и использовались для этого малые деформации. Рассмотрим теперь модель нелинейной упругой среды [12,27,34,64], примером которой могут служить резина и некоторые другие эластомеры. Термин “геометрическая нелинейность” означает, что неравенство (5.1) не имеет места, а значит, деформации связаны с перемещениями не соотношениями Коши (5.5), а общими нелинейными соотношениями (4.10). В MCC существует и другое понятие — “физическая нелинейность”, означающее, что определяющие соотношения среды, в отличие от (10.3) и (10.12), представляют собой нелинейные тензор-функции или функционалы.
Выберем отсчётную конфигурацию с базисом недеформиро-ванного состояния єі и вспомним уравнения движения сплошной среды (7.25) в отсчётной конфигурации. Напряжённое состояние характеризуется тензором напряжений Пиолы 7г (7.28). Сплош-
122
Лекция 10
ная среда называется упругой, если существует скалярный потенциал деформаций W(F), такой что
Zt = W- (1а57)
Тогда изменение работы внутренних сил (7.45) записывается следующим образом:
Г 8W
SA{i) = -dt
7ГТ: RdV0 = -
V0 V0
dF
: dFdV0 =
dWdV0 = -d
V0 Vo
и, следовательно,
WdV0 = -dtp, (10.58)
Д(і) = -</?, (10.59)
где интегральный оператор Lp, как и в линейном случае (10.42), носит название потенциальной энергии деформации. Упругая среда считается заданной, если известен потенциал W(F).
В качестве меры деформации удобнее выбрать не F, а правый тензор Коши-Грина (4.22), являющийся симметричным. Образуем новый скалярный потенциал W(C):
W(F) = W(C) = W(I1J2J3), (10.60)
где 11, I2, I3 — инварианты (4.50) тензора С.
ЛЕКЦИЯ 11 РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Физические величины, рассматриваемые в механике, различаются не только своей геометрической структурой (скаляры, векторы, тензоры второго ранга и т.п.), но и “наименованием”. Некоторые из них безразмерны (угол в радианах, компоненты тензора деформаций), другие имеют размерность. Например,
о о
плотность р можно измерять в г/см , можно в кг/м , а можно и в кГ-с2/см4. Очевидно, что первые две размерности различаются между собой только величиной: масштабом массы (1кг= 1000г) и масштабом длины (Im=IOOcm). Третья же размерность отличается от первых двух своей природой. В ней участвуют сила, время и длина.
Таким образом, размерности физических величин связаны с комбинациями единиц измерения — эталонных масштабов, служащих для измерения. Можно выбрать основные масштабы, или основные единицы измерения. Тогда другие единицы будут производными. Если какую-то производную единицу нельзя выразить в системе основных, то система не является полной. В задачах механики в качестве основных единиц часто выбирают единицы измерения М, L, T соответственно для массы (т), длины (/) и времени (t) 0 . В абсолютной физической системе (СГС) ими являются грамм, сантиметр и секунда, а в Международной системе (СИ) — килограмм, метр и секунда.
Основные единицы измерения считаются эталонными и выбираются по договорённости. Так, договорились считать 1/31556925,9747 тропического года, рассчитанную для 1900 г., эталоном времени и назвать одной секундой, а 1650763,73 длины волн излучения в вакууме атома криптона-86 — эталоном длины и назвать одним метром. Назовём классом систем единиц измерения совокупность систем единиц измерения, различающихся между собой только величиной, но не природой основных единиц измерения. Так системы
О Хотя при рассмотрении “сложных” моделей данная система может оказаться неполной.
124
