Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
= (— P + G) Gij + 2p\Dij. (9.51)
Для вывода уравнений движения такой среды подставим в общие уравнения (9.2) векторы напряжения P1 = PljEj, вычисленные на основании (9.51). Получим уравнения движения сжимаемой вязкой жидкости:
dv —>
р— = — gradр + (Al + р\) grad div v + р\Av + pF. (9.52)
Если же среда несжимаема, т. е. div = 0, то из (9.52) следуют уравнения движения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости:
P~^t = graci^ + AM A?? + pF, (9.53)
ИЛИ ^
-у- = — grad р + rjAv + F. (9.54)
dt р
В случае несжимаемости нет смысла говорить об объёмной вязкости, поэтому р\ называют просто коэффициентом вязкости или динамической вязкостью, тогда как rj = p\/p носит название кинематической вязкости. Смысл этих названий станет ясным из лекции, посвящённой размерностям физических величин.
Итак, замкнутая система уравнений вязкой несжимаемой жидкости представляет собой векторное уравнение (9.53) или
(9.54) и условие несжимаемости (9.10). При этом разыскиваются четыре величины: компоненты вектора скорости v и давление р.
Простейшие модели жидкостей
109
Если в отличие от (9.49) тензор-функция, связывающая т и D, нелинейна, то жидкость называется нелинейно-вязкой или неньютоновской [8].
Обратимся теперь к начальным и граничным условиям, необходимым для постановки начально-краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку уравнения Навье-Стокса (9.54), как и уравнения Эйлера (9.9), имеют первый порядок по времени, начальные условия (9.27) остаются в силе. По координатам уравнения (9.54) имеют второй порядок (оператор Лапласа), поэтому граничных условий (9.28), (9.29) уже недостаточно.
Кинематические условия на границе S^ вязкой жидкости имеют следующий вид:
х Є Tv: V = щ(ж,і). (9.55)
Чаще всего по границе Tv вязкая жидкость соприкасается с твёрдым телом (“стенкой”), движущимся со скоростью щ(х, ?), поэтому условия (9.55) называют также условиями прилипания.
Статические граничные условия записываются следующим образом:
X Є Ss: = S0(x,t). (9.56)
Если вектор Sq(x, t) нулевой, то Ss называется свободной поверхностью. Если Tv = S, то говорят о первой краевой задаче, если Ss = S, то о второй краевой задаче, если же Tv ф 0 и Ss ф 0 — то о смешанной краевой задаче.
ЛЕКЦИЯ 10 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
Продолжим начатое в прошлой лекции изучение моделей сплошных сред и перейдём от жидкостей к твёрдым деформируемым телам. В механике сплошной среды часто твёрдые тела отличают от жидкости не по агрегатному состоянию вещества. Обычно, если используется лагранжев подход и кинематика деформирования описывается вектором перемещения и тензором деформаций, то говорят о твёрдом теле [47]. Если же используется эйлеров подход и кинематика характеризуется вектором скорости и тензором скоростей деформаций, то речь идёт о жидкости или газе. При этом, как правило, несжимаемая среда называется жидкостью, а сжимаемая — газом.
Будем изучать малые деформации и введём прямоугольную декартову систему координат. Частную производную по координате будем обозначать запятой в индексе. Тогда уравнения движения (6.58) в компонентах записываются следующим образом:
Три уравнения движения (10.2) и шесть соотношений Коши (5.5) содержат пятнадцать неизвестных величин: по шесть компонент симметричных тензоров напряжений Gij (8.43) и малых деформаций Sij (5.4), а также и три компоненты вектора перемещений щ. Напомним, что плотность р не входит в число неизвестных, а определяется из уравнения неразрывности (6.17) в лагранжевых координатах после нахождения деформаций и ди-латации в. Система (10.2), (5.5) незамкнута, и для её замыкания сплошную среду необходимо конкретизировать, т. е. задать определяющие соотношения среды. В предыдущей лекции уже встречались подобные соотношения для идеальной баротропной жидкости (9.12) и для ньютоновской вязкой жидкости (9.49).
avI _ , TTI
P~dt aij,j
(10.1)
или, с учётом (1.18),
(10.2)
Простейшие модели твёрдых тел
111
Рассмотрим линейное упругое тело [1, 22, 28, 33, 43, 54, 57, 58], т. е. среду, в которой тензоры а и є связаны линейной, вообще говоря, анизотропной тензор-функцией. Общий вид такой функции следующий:
Vij = CijkISki, или a = C: є. (10.3)
Шесть независимых соотношений (10.3) носят название закона Гука для анизотропного упругого тела [25], а тензор четвёртого ранга С = Cijkih (g) kj ®kk®h называется тензором модулей упругости. В силу симметрии Gij = Gji он, очевидно, симметричен по первым двум индексам, а в силу симметрии єц = Sji — по последним двум.
Пусть тензор-функция (10.3) является потенциальной, т. е. существует скалярный потенциал деформаций W(є),
такой что
CF т,п —
dW dW
+
dW
или а =
кдєтп дєпт J cfe
Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем
(10.4)
(10.5)
Vmn — 2 Cijkl
дєщ дє-тп / дєц \дєтп
'-V
+
дє
У
+
дє-...
дєш \ дє /
u^rrm J
Єкі =
єц +
дє
і]
дєг
+
дє
Ji
дєг
1
— ^ Cijkl(2Aklmn^ij “Ь ^AijmnCkl) — 2 Cijmn^-ij ^ Cmnkl?kl,
