Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Распределение давления (9.34) характерно для гидростатики идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
2. Определить скорость на свободной поверхности идеальной жидкости справа от вертикальной стенки (рис. 36).
Направим, как и в предыдущей задаче, ось х% = z вверх, а начало координат выберем в точке О. Пусть глубина водоёма до стенки мало отличается от zA, а после стенки равна zB =
* к
А 7 > f
V, h в с
////////////////////////// О
Рис. 36
= zA — h. Течение реки будем считать установившимся, а в качестве линии тока выберем линию 7, принадлежащую свободной поверхности как до стенки, так и после неё. Потенциал массовой силы (силы тяжести) имеет вид (9.30). Записывая для двух точек А и В, принадлежащих 7, интеграл Бернулли согласно (9.31) и учитывая, что рА = = Pb = Ратм, получим
Vb = ^v2a+ 2gh. (9.35)
Если на свободной поверхности водоёма достаточно далеко от стенки жидкость покоилась (vA ~ 0), то из (9.35) вновь получим формулу (9.33), аналогичную формуле Торричелли. Выражение для скорости (9.35) используется при расчёте и проектировании водосливов, плотин, запруд и других гидроинженерных сооружений.
Интеграл Бернулли (9.23) также находит применение в задачах, связанных с измерением скорости потока жидкости. Простейшим измерительным прибором такого рода служит трубка Пито-Прандтля (рис. 37), представляющая собой узкое цилиндрическое тело с отверстиями, через которые по нескольким
Рис. 37
106
Лекция 9
каналам (коленам трубки) может течь жидкость. Трубка устанавливается вдоль стационарного горизонтального потока идеальной жидкости. Одно колено трубки выходит в её переднюю (лобовую) часть навстречу набегающему потоку. Конец А этого колена называется точкой торможения, в ней скорость потока тормозится до нуля, а давление равно давлению торможения, или заторможенному давлению р*. Другое колено выходит из трубки в точке В, расположенной достаточно далеко от А, так что vB и рв мало отличаются от скорости V00 и давления P00 набегающего потока.
Выберем линию тока, проходящую через точки А и В, и запишем для неё интеграл Бернулли в виде (9.31). Так как ~ zB ’ будем иметь
(9.36)
Po у Po
Перепад давлений Ap пропорционален разности высот Ah уровней жидкости в двух коленах трубки Пито-Прандтля. Коэффи-цииент этой пропорциональности равен pfg, где рг = аро — плотность жидкости, находящейся в трубке (она может отличаться от жидкости в потоке). Поэтому
V00 = \/cIag Ah. (9.37)
Рассмотрим теперь другую модель, а именно пористую среду [11]. В такой среде присутствуют две составляющие: недефор-мируемый каркас и поры, заполненные идеальной жидкостью,
причём жидкость может фильтроваться сквозь стенки каркаса.
В связи с этим модель пористой среды называется также фильтрационной моделью. Полагается, что в некотором бесконечно малом объёме dV, окружающем точку х тела в момент t, объём пор равен dVі, так что известная величина
0 ^ х(х, i) ^ 1, (9.38)
зависит от координат и времени. В предельных случаях я = = 0 и к = 1 имеем, очевидно, сплошной каркас без пор либо идеальную жидкость.
Общая масса т жидкости (6.1),
т= pdV\= xpdV, (9.39)
Vi V
Простейшие модели жидкостей
107
не меняется со временем, поэтому из закона сохранения массы (6.8) и леммы о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4) следует, что
^+ c^iv (xpv) = 0. (9.40)
Назовём величину
и = Kv (9-41)
скоростью фильтрации в отличие от физической скорости v. Тогда соотношение (9.40) можно переписать следующим образом:
+ div (рй) = 0. (9.42)
Скорость фильтрации пропорциональна силе трения FTp жидкости о стенки каркаса (закон Дарси):
^TP = -J, (9.43)
где К — коэффициент проникания.
Аналогично уравнениям движения Эйлера (9.9) запишем векторные уравнения, описывающие фильтрацию. В них уже фигурирует не физическая скорость, а скорость фильтрации: du 1
dt р'
Так как фильтрация осуществляется очень медленно, инерционной левой частью в (9.44) обычно пренебрегают. Тогда
с учётом (9.43) соотношение (9.44) приобретает вид
U = k(f - ^gradp) (9.45)
и носит название обобщённого закона Дарси.
Подставим теперь обобщённый закон Дарси в (9.42) и получим
Jr div [K(pF — gradp)] = 0. (9.46)
CJ L
Если жидкость, движущаяся в порах, баротропна, то уравнение (9.46) (с учётом (9.12)) полностью описывает фильтрационную модель.
Пусть теперь тензор напряжений Коши (6.55) в жидкости не является шаровым, как в (9.6), а имеет вид
p = -vl + T, (9.47)
— = --gradp + F + FTp. (9.44)
108
Лекция 9
гд T = T13E1 ® Ej = TijEi <?> E3 (9.48)
есть тензор вязких напряжений, представляющий собой линейную изотропную тензорную функцию от скоростей деформации D (4.62):
T~ij = Ai(tr D) Gij + 2p\Dij, (9.49)
Dij = \(vi\j + Vj\i)’ tr Z) = div v, V = ViEi. (9.50)
Соотношения (9.49) являются определяющими соотношениями среды, называемой ньютоновской вязкой жидкостью или просто вязкой жидкостью [7, 20, 23, 26, 53]. Коэффициенты Ai и р\, являющиеся материальными константами определяющих соотношений (9.49), характеризуют жидкость и называются соответственно объёмной и сдвиговой вязкостью. Подставляя (9.48) и (9.49) в (9.47), выпишем компоненты тензора Р:
