Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
7 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
98
Лекция 8
На рис. 34 изображён круг Мора, соответствующий главным напряжениям о\ и о2. Откладывая произвольный угол 2а, отметим точки М\ и M2, принадлежащие кругу. Тогда компоненты тензора P в системе координат, повёрнутой относительно главных осей на угол а, геометрически представляют собой указанные на рисунке абсциссы и ординаты точек М\ и M2.
В заключение лекции заметим, что в случае малых деформаций тензоры напряжений Коши Р, Пиолы тг и Кирхгофа К, связанные соотношениями (7.30), (7.32), совпадают. Действительно, в силу (4.20) и (5.10)
E = L + ? + Q, F~t = і-є + Q, (8.41)
а в силу (5.22)
= 1+0. (8.42)
Поэтому для малых деформаций есть смысл говорить просто
о тензоре напряжений а:
P = 7L = K = а. (8.43)
Рис. 34
ЛЕКЦИЯ 9 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ
Изученные в предыдущих лекциях основные постулаты уже позволяют рассмотреть некоторые простейшие модели механики сплошной среды. Напомним, что одно скалярное уравнение неразрывности (6.10)
^ + Pdivv = O (9.1)
и одно векторное уравнение движения (6.58)
Pd^t= ViP1 + pF (9.2)
представляют собой незамкнутую систему четырёх уравнений относительно десяти неизвестных функций координат и времени. Этими неизвестными являются: плотность р, три компоненты вектора скорости v и шесть независимых компонент симметричного тензора напряжений Коши P (согласно (6.54) P1 = P13Ej). Симметрия его обеспечивается равенствами (7.7), являющимися следствиями закона об изменении момента количества движения.
Очевидно, что для замыкания системы (9.1), (9.2) необходимо привлечь ещё шесть соотношений, определяющих конкретную среду. Они называются определяющими соотношениями и описывают модель сплошной среды.
Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости [20, 23, 26,35,46]. Определим её как среду, в которой в любой точке на любой площадке с единичной нормалью N вектор напряжений ортогонален этой площадке, т. е.
= ±\SW\N. (9.3)
Коэффициент пропорциональности между векторами и N
в (9.3) называется давлением p(x,t):
SW = PN. (9.4)
Давление образует скалярное поле в IR3, так что длина вектора Sв идеальной жидкости (равная |р|) зависит лишь от
100
Лекция 9
точки пространства и не зависит от площадки, проведённой через эту точку.
Так как согласно (6.48) = P1Ni, то из (9.4) имеем
р* = -рЁ\ (9.5)
Умножим (9.5) тензорно на Ei и воспользуемся (6.55). Получим P = —рЁг 0 E1 = —pi, (9.6)
т. е. тензор напряжений Коши в каждой точке идеальной жид-
кости является шаровым и характеризуется одной скалярной функцией — давлением.
Из (9.5) также следует, что
ViPi = -Vi(PEi) = -pv& = - grad p. (9.7)
Подставляя ViPt из (9.7) в (9.2), получим уравнения Эйлера
движения идеальной жидкости. В векторном виде они выглядят следующим образом:
// fI J —^
р— = -gvadp + pF, (9.8)
или, после деления на р ф 0:
= -Igradp + F. (9.9)
Cit P
Однако система четырёх уравнений (9.1), (9.9) по-прежнему остаётся незамкнутой. Действительно, неизвестными являются пять величин: плотность р, три компоненты вектора скорости v и давление р.
Если положить, что идеальная жидкость несжимаема и однородна, ТО ПЛОТНОСТЬ является ПОСТОЯННОЙ P = Pq и её можно исключить из числа неизвестных. Тогда число неизвестных величин (три компоненты вектора v и давление р) совпадает с числом уравнений, в число которых входят три уравнения движения Эйлера (9.9) и условие несжимаемости (6.14)
div = 0. (9.10)
Если идеальная несжимаемая среда неоднородна, то плотность p(x,t) становится пятой неизвестной функцией. Система четырёх уравнений (9.9), (9.10) замыкается пятым уравнением (6.13), которое можно записать в виде
Простейшие модели жидкостей
101
Идеальная жидкость называется баротропной, если давление является известной функцией от плотности или наоборот:
р = р(р) или р = р(р). (9.12)
Функция (9.12) представляет собой определяющее соотношение идеальной жидкости, замыкающее систему (9.1), (9.9). При р{р) = Pq мы имеем дело с несжимаемой средой.
Для баротропной жидкости удобно ввести функцию давления V(x,t) такую, что 1)
(IV=dJ. (9.13)
Из определения (9.13) следует, что
grad V = - grad p. (9.14)
P
Интегрируя (9.13) при заданном определяющем соотношении (9.12), функцию давления можно записать в одном из двух видов:
v=[ dP
либо
р{р)
(9.15)
V =
p'(p)dp, (9.16)
P dp
Пусть массовые силы F(x,t) обладают скалярным потенциалом U(x, t):
F = - grad U. (9.17)
Тогда, подставляя (9.14) и (9.17) в уравнения движения (9.9), получим
dv
— + grad (V + U) = 0. (9.18)
Возникает вопрос: можно ли ускорение w = dv/dt, входящее в (9.18), как и остальные слагаемые, представить в виде градиента некоторой скалярной функции? Покажем, что вектор ускорения w(r,t) представйм в форме Громеки-Лэмба:
dv 1
w = — + — grad \ v\2 + 2uj x v, (9.19)
где и — вектор вихря, определяемый в (2.29).
1) He путать функцию давления V с давлением р!
102
Лекция 9
