Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Подставим (10.24) в (10.23) и после преобразований придём к обратному закону Гука для изотропного материала:
Eij = [-Зі'CrSij + (1 + v)(Tij] - (10.25)
Заметим, что из пяти уже введённых упругих постоянных — Л, Ii, К, Е, V — в качестве независимых можно выбрать любые две. Выражения для трёх остальных следуют из формул (10.21) и (10.24).
Найдём вид скалярных потенциалов W(є) (10.4) и w(a)
(10.14) для изотропной среды. Пользуясь соотношениями (10.19)
Простейшие модели твёрдых тел
115
и (10.25), запишем
W = —(A 68ij + 2 iiSij)eij = -\в2 + IiEijEij =
= ^Kd2 + neijeij, (10.26)
w = Je ai^-3ua5H + (1 + ")°?] = +
I + ^ 3(1-2^) о I + ^
+ ~^r cr*jcr*j =-----21— а + “2E~SijSij' (10'27)
Из (10.26) следует, что условия положительной определённости квадратичной формы W(є) следующие:
К> 0, /і>0, (10.28)
а из (10.27) видно, что квадратичная форма w(a) положительно определена в каждом из двух следующих случаев:
Е> 0, (10.29)
либо , . X
E < 0, V є (-ос; -I) U ( +ос j . (10.30)
С учётом ранее сделанного замечания о значениях коэффициента Пуассона для реальных материалов (§<v<\/2) можно утверждать, что из систем (10.29), (10.30) физически реализуется только первая.
Так как /і = E/[2(1 + v)\, К = Е/[Ъ(\ — 2v)\, то условия (10.28) совпадают с объединением условий (10.29),
(10.30). Это естественно, поскольку, как следует из (10.3),
(10.4) и (10.12), (10.14), W(e) = w(а) для любого напряжённо-деформированного состояния в упругом теле.
Итак, шесть определяющих соотношений линейного упругого материала — (10.3) либо (10.12), а в случае изотропии — (10.19) либо (10.25), замыкают систему (10.2), (5.5) пятнадцати уравнений в области V.
О начальных и граничных условиях уже говорилось в предыдущей лекции. В отличие от (9.27), теперь надо задавать и перемещения, и скорости частиц в начальный момент времени:
t = 0: и = її0 (ж), — = v°(x). (10.31)
Это вызвано тем, что уравнения (10.2) имеют второй порядок по времени. Граничные же условия на кинематической Tu и
116
Лекция 10
статической Ss частях поверхности S = 8V записываются по аналогии с (9.55), (9.56):
х Є Lu: й=щ(х,і). (10.32)
же Ss: §W = S0(x,t). (10.33)
В компонентах векторное условие (10.33) имеет вид
X Є Es : (TijNj = Soi(x,t). (10.34)
Как и ранее, если Lu = Е, то задача называется первой краевой, если Es = Е, то второй краевой, если Lv ^ 0 и Es ф 0 — то смешанной.
Подставим соотношения Коши (5.5) в (10.19):
Oij = Л UktkSij + Kui,j + uj,i)’ (10.35)
а затем (10.35) — в уравнения движения (10.2). В результате получим уравнения Ламе движения изотропного упругого тела [5]:
д2 и¦
P = + p)uj,ji + рАщ + pFi (10.36)
Их можно написать и в векторной форме
Q2U —>
P ~qI2 = + Zi) Sraci div и + рАй + pF. (10.37)
Для записи статических граничных условий (10.34) в терминах перемещений подставим в них выражения (10.35):
/ Эи- \
х Є Es : Л UkykNi + ці + UjyiNj J = S0i(x, t). (10.38)
Таким образом, начально-краевая задача теории упругости в перемещениях состоит в решении трёх уравнений Ламе (10.36) при выполнении начальных условий (10.31) и граничных условий (10.32), (10.38).
Если изучается не движение, а состояние покоя тела в поле внешних сил, т. е. (du/dt)(x,t) = 0, то вместо уравнений движения записываются уравнения равновесия
CTijtj + PFi = 0, (10.39)
а вместо динамических уравнений Ламе (10.36) — статические уравнения
(A + p)ujji + рАщ + pFi = 0. (10.40)
Простейшие модели твёрдых тел
117
Начальных условий (10.31) уже задавать не требуется. Соответствующие краевые задачи (10.39), (5.5), (10.19), (10.32), (10.34) и (10.40), (10.32), (10.38) называются статическими задачами теории упругости.
Если массовые и поверхностные силы зависят от времени столь незначительно, что силами инерции (правыми частями уравнений (10.2) и (10.36)) можно пренебречь, то говорят о квазистатике и квазистатических задачах теории упругости.
Обратимся теперь к интегральному равенству (7.20), выражающему теорему живых сил, или теорему об энергии в МСС. Для изотропной упругой среды изменение работы внутренних сил (7.19) имеет вид
aw
SA{i) = -
Vjj sr) (IV —
v
дєі
-?ij dV
I
dWdV = -d
WdV =-dip (10.41)
v
v
и является полным дифференциалом. Назовём величину
WdV
(10.42)
V
работой внутренних сил, а интегральный оператор Lp — потенциальной энергией деформаций. Для изотропного тела
<Р-
V
^KO2 + Iieijeij ) dV.
(10.43)
Пусть массовые и поверхностные силы не зависят от перемещений. Тогда изменение работы внешних сил (7.21) также есть полный дифференциал и согласно (7.17), (7.18)
д(е) =
pF • и dV +
Sw ¦ UdL.
(10.44)
V
Таким образом, каждое слагаемое в (7.20) является полным дифференциалом, поэтому можно записать первый интеграл теоремы об энергии:
/С + <р - Л(е) = С. (10.45)
Интегральный оператор С называется полной энергией упругого тела или лагранжианом. Он представляет собой константу
118
