Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
г) индексы, обозначающиеся греческими буквами, могут встречаться в каждом одночлене произвольное число раз, и по ним суммирование не производится (если, разумеется,
12
Лекция I
специально не написан знак суммы); разным греческим буквам в индексах в данной формуле обязательно соответствуют разные числовые индексы.
Так, например, компактная запись
UiJkbbakCaL = faiJ
эквивалентна системе восемнадцати уравнений (каждое из следующих шести уравнений надо взять при а = 1,2,3):
GllllbalCal + CL\\\2ba\Ca2 + aI 121 Ьа2са\ +
+ Оц22Ьа2Са2 + Оц3іЬа3Саі + O1I32^a3Ca2 = fa Ib
а1211 Ьа\Са\ + &1212^а:1са;2 + а1221 Ьа2са\ +
+ Oi222^a2Ca2 + a\23\ba3ca\ + Oi232^a3Ca2 = fa\2\ a2\\\ba\Ca\ + 02ц2ЬаіСа2 + 0-2121 Ьск2 Сск I +
+ O2I22^a2Ca2 + O2I3I &а3Саі + O2I32^a3Ca2 = /а2Ь 0-221I ^cd CaI + O22i2^aiCa2 + а2221^а:2Са1 +
+ а2222^а2^а2 + 02231 ЬаЗса\ + O2232^a3Ca2 = fа2Ъ аЗ\\\Ьа\са\ + 03112^1^2 + 03і2і&а2Саі +
+ а3122^2Са2 + О3131 ^ce3CceI + O3i32^a3Ca2 = /а3 Ь о32цЬаісаі + O3212Ьа1 Ca2 + O322 l&a2Cai +
+ а3222^2Са2 + O323I^a3CaI + O3232^a3Ca2 = /а32.
Сравнение двух предыдущих формул, без сомнения, убедит читателя в преимуществах использования тензорной алгебры.
Вернёмся к соотношениям (1.7). Они устанавливают связь между отсчётной и актуальной конфигурациями, т. е. описывают закон движения сплошной среды. В силу условий непроницаемости
Oxi д Xi дік
дх°- д?к дх°-
соотношения (1.7) можно обратить следующим образом:
xi = xi(xhx2>x3 Л) или ro = ro(r,t). (1.9)
Если в отсчётной конфигурации зафиксировать материаль-
ную частицу (например, имеющую лагранжевы координаты х® = = Ci), то из закона движения (1.7) получим уравнение линии:
Xi = Xi(CuC29Cbt)- (1.10)
Эта линия называется траекторией частицы.
Подходы к описанию движения
13
Если теперь положим в отсчётной конфигурации
X0 = C2 = const, X3 = C3 = const, (1-11)
т. е. зафиксируем прямую линию, составленную из материальных частиц, параллельную оси координат (Ox0l), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = T = const получим
Xi = Xi(X0bCbC3lT). (1.12)
Уравнения (1.12) описывают некую кривую, составленную из материальных частиц, которые в отсчётной конфигурации лежали на прямой (1.11).
Если теперь положим в отсчётной конфигурации
х° = Cs = const, (1-13)
т. е. зафиксируем плоскость, составленную из материальных частиц, параллельную координатной плоскости (Ox0lX0), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = T = const получим
Xi = XiiX0l, ХІС3,Т). (1.14)
Уравнения (1.14) описывают поверхность, составленную из материальных частиц, в которую перешла при движении сплошной среды плоскость (1.13).
Из (1.11), (1.12) следует, что ортонормированный базис, составленный из материальных частиц в отсчётной конфигурации, вообще говоря, превращается в актуальной конфигурации в “криволинейный” базис [36].
Заметим, что в силу (1.8) можно обратить соотношения (1.5) для материальных координат ^i'.
& = Ci(x0,x°,x°,to)- (1-15)
Введём в рассмотрение вектор перемещения как разность векторов г и го (рис. 4):
и = г — го* (1-16)
Компоненты щ в базисе ki можно считать функциями лагранже-вых координат и времени: щ = Ui(x°,x°,x°,t).
Продифференцируем обе части закона движения (1.7) по времени и определим вектор скорости v с компонентами У{ в базисе ki, являющимися функциями лагранжевых координат
Рис. 4
14
Лекция I
и времени:
Vi(X0bX0jX^t) = ^(x0,x°,xl ,t) = ^-(x°,x°,xl ,t),
или ^0,*) = §(f0,t) = f (^) = |>0 ,*) = f (^)-
(1.17)
В (1.17) полные производные по времени совпадают с частными, поскольку лагранжевы координаты х° от времени не зависят.
Продифференцируем обе части (1.17) по времени ещё раз и определим вектор ускорения w с компонентами Wi в базисе ki, являющимися функциями лагранжевых координат и времени:
/О о о ±\ ^Vi / о о о ±\ д2Хі , о о о ±\
Wiixl, X2, X3, t) = — (xx,x2,x3,t) = —X2, X3, t),
% эч (1Л8)
или w(r0,t) = t) = -Q^(ro,t) = -p-(f0,t).
Компоненты тех же самых векторов перемещения, скорости и ускорения в силу (1.9) можно представить и как функции эйлеровых координат Х{ и времени:
щ(х®, х2, х3, t) = щ(хі, х2, х3, t); (1-19)
Уг(х°,х°2,х1л) = Vi(x\,x2,x3,t)', (1.20)
Wi (х°1, х\, Жд, t) = Wi(x\, Х2, X3, t). (1-21)
Векторы w(r,t) и V(r,t) связаны между собой следующими формулами:
dv dv dv dxi dv dv .
ш=л = т + а^~л=т + д^,щ’ (1'22)
или покомпонентно:
CIvi Svi Bvi dxj Bvi Ovi
w' = It= It+IhT1H = (1'23)
B (1.22) и (1.23) видно различие между полной производной и частной производной по времени. Для любой физической величины F(x\, х2, х3, t), зависящей от эйлеровых координат и времени, полная производная по времени (её также будем обозначать точкой справа вверху буквы) представима в виде
dF
F'(xI,X2, X3,t) = —(х\,х2,X3,t) =
dF 8F
= -^(х\,х2,x3,t) + -^(xi,x2,x3,t)vi, (1.24)
Подходы к описанию движения
15
т. е. в виде суммы частной производной по времени и конвективной производной по времени.
