Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
часть равна произведению вещественной величины на е1в (Л и (ы0и*2 + ufa)
вещественны), то (2.67) разрешимо. Например, если правая часть равна -
Geie, то и2 - - (G/2) <д2рЛре*0 и 2я-периодична. Отметим, однако, что при
Л-*-0 асимптотический ряд (2.61) плохо упорядочен. Поэтому этот предел не
является равномерным. Иначе говоря, ядро оператора, действующего на иг,
одномерно и натянуто на е'0, когда А не мало, и оно двумерно и натянуто
на leie, iei%, когда А мало. (Если учитывать комплексно сопряженные поля
е~'в, оно четырехмерно.)
Для того чтобы выполнить предельный переход, мы будем обращаться с 1е*е-
членами как с секулярными и выберем g(2) так, чтобы обратить правую часть
(2.67) в нуль. Тогда
(r)а - - СО2 (1 - рЛ2) = ¦- (-щг - А- (2.68)
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза
Эволюция to, k и А определяется из (2.59), (2.66) и (2.68), и в этом
простом случае решение и = Ае1в является точным. Правая часть (2.68)
важна только если А = 0(e) и со2 - к2 - ш2 = = О (е2), при этом (2.68)
будет дифференциальным уравнением на А.
Повторю: член (d2/dt2- д2/дх2)А в (2.67) не является секу-лярным при
конечных А. Однако если иметь в виду предельный переход к малым А,
полезно обращаться с ним как с секуляр-ным и включить его в дисперсное
соотношение.
Предельный переход к почти монохроматической волне малой амплитуды А
осуществляется следующим образом. Пусть А-^еА; выберем оз~соо, k~ko, со2
-й2 = со2 и запишем
0 = kQX - со0Г + ф (х, t). (2.69)
Теперь со = со0 - еф/, k - ko + еф*, и уравнение сохранения волн имеет
вид
(К - eq>t) А% + ((ко + гц>х) А\ = 0, (2.70)
а дисперсионное соотношение
е ( 2сооФ< - 2k^x) + е2 (Ф2 - Ф2) + fko2eM2 = ? (Att - А"). (2.71)
Глядя на члены первого порядка в (2.70) и порядка е в (2.71), убеждаемся,
что А2 и ф зависят от х и t только в комбинации
\ = х - со'/, со' = й0/со0. Пусть x = et, и тогда (2.71) и
(2.70)
превращаются соответственно в
1-о>о
2со0
/2 . , "о
/ \ Вс
(дг-+ (2'72)
/2___
^ = \-(!МЛ + ^ (2.73)
или, если а = Аеир,
. // о /2
ш" (0~ 1 ¦- 0)л
^=-Г аи + г'Р aV' <=-5Г - • (2-74)
В упражнении 2с(2) (1) мы видели, что (2.74) - это НУШ для (2.60). Итак,
если учесть член, которым пренебрегают в теории Уизема, а именно (е2/Л)
(Att - Ахх), то мы вновь получим НУШ. Этот член соответствует первому
члену в правой части (2.72).
Я хочу еще показать, что происходит, когда /(0) нельзя найти в явном
виде. Я использую модель, которой первоначаль-
86 Глава 2
но пользовался Уизем,
итт - ихх + F (и) = 0, (2.75)
где F берется нечетной по и и при малых и равной и - уи3.
Читатель может вывести НУШ в качестве упражнения. Если
и ~ еа(х - со'/, е/) е1^коХ~<мТ^ + (*) + с со2 -/г2=1, <о' = /г0/со0
(групповая скорость), то
Згу " "
ах = -2~ а U у (2.76)
где т = е/ - в2Т и 1 = х - со'/ = е (X - со'Г).
Далее, применяя теорию Уизема к (2.75), введем
0= 9Ч х = еУ, / = еГ, (2.77а)
со2 - k2 = g + eg'1) + e2g(2) + .. . , (2.77b)
u = / + eu(i) + e2u(2)+ ... (2.77c)
и получим
g-$-+F(f) = 0, (2.78a)
+ = (2.78b)
fir-^ + ^(/)"(2) = /?2, (2.78c)
где
и
- S'" ^-+ 2" + (% +
% = -S"# + 2" |^+2C +
F"(f) ,,СПг Г
2
Умножая (2.78a) на fe(df/d@) и интегрируя, получаем
У (/) = ?, ^ = Л (2.79)
откуда
Vljvi%r=e' (2-80)
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 87
Без потери общности примем f нечетным по 0. Дисперсионное соотношение
тогда примет вид
л/|(1+71=Гш"''- F(fJ=B (2'81)
и определяет Е как функцию g или наоборот.
Следующей нашей задачей будет получение условий на Ri и R2,
обеспечивающих 2я-периодичность "(|) и м,2> по 0. Рассмотрим
g-^ + F'(f)v = R и перепишем это в виде системы
ЛИУ- - еу _L ( ^ 'j de g \ R J '
где
F = U)' 4-f|o}
Матрица E 2я-периодична, и нам следует применить теорию Флоке. В
частности, если U, вектор-строка, является решением уравнения
^ = -ue, (2.85)
то для 2я-периодичности V необходимо (доказательство получается просто
умножением (2.83) на строку U и последующим интегрированием)
2Я
= (2.86)
Пусть Ф - фундаментальная матрица решений уравнения dV/d(r) = EV, тогда Ф(0
+ 2я) - тоже фундаментальная матрица (она удовлетворяет уравнению), и
существует не зависящая от 0 матрица M = e2nR, называемая матрицей
монодромии, такая что Ф(0 + 2я) = Ф(0)М. Собственные значения М
называются множителями Флоке. Если единица является двукратным
собственным значением, то по крайней мере один из соответствующих
собственных векторов дает 2я-периодическое решение однородной системы
(2.83), а строки обратной матрицы ф-1(0) удовлетворяют (2.85).
(2.82)
(2.83)
(2.84)
88 Глава 2
В нашем случае Ф(6) можно построить явно. Заметим, что vi-fв и v2 = fg +
Qfe/2g (индексы обозначают частные производные) удовлетворяют однородному
варианту (2.82). Здесь
(fe fs + 4g А
ф(0)= , 1
\/ee fee +-^-/в + 2^0/вв/
det Ф (0) = -j- Eg (продифференцируйте (2.79))
и
ф-'(0) = _?_(/гв + '^/0 + -27е/вв -fs~-WefA
- /ее /в '
В этом случае матрица М имеет единицу двукратным собственным значением и
равна
(Ч).
V о 1 /
о 1
